اجتماعی و معادله

اکنون قرار دهید ، جائیکه ها زیرگروههای دوری از مرتبه 256 در G می‌باشند. گروه G روی ( بصورت تزویج عمل می‌کند. اگر یک مدار تحت عمل فوق باشد آن‌گاه با استفاده مدارها و چون G یک 2-گروه است، پس این مدار باید توانی از 2 باشد. از طرفی تعداد این مدارها باید 15 باشد که یک عدد فرد است. بنابراین باید حداقل یکی از این مدارها بطول 1 باشد. پس یک وجود دارد که یعنی . در نتیجه گروه G دارای یک زیرگروه نرمال از مرتبه 256 است که آنرا N می‌نامیم. اندیس N در G یعنی برابر است با 32= . فرض کنید h یک مولد N باشد یعنی . می‌دانیم که N فقط یک عنصر از مرتبه 2 دارد که برابر است. حالا همدسته‌های N در G را در نظر می‌گیریم. اگر این همدسته‌ها شامل یک عنصر از مرتبه 2 باشند مثلاً x آن‌گاه همدسته آن را با Nx نشان می‌دهیم. چون x در نرمالساز N قرار دارد و آن‌گاه عدد فردی مانند r وجود خواهد داشت که توسط x با h مزدوج است. به عبارت دیگر داریم . در نتیجه و از آنجا آن‌گاه . بنابراین ، آن‌گاه r با یکی از اعداد 1، 127، 129 یا 256 به پیمانه 256 هم نهشت می‌باشد. فرض کنید L یک زیرگروه از G باشد که توسط N و x تولید می‌شود. در واقع N یک حاصلضرب نیم‌مستقیم از مرتبه است که اجتماع دو همدسته N و Nx می‌باشد. اکنون می‌توانیم تعداد عناصر از مرتبه 2 را در همدسته Nx بشماریم. اگر آن‌گاه L یک حاصلضرب مستقیم از بوسیله است که دقیقاً دارای سه عضو از مرتبه 2 در Nx وجود دارد یعنی z و x و zx..
اگر آن‌گاه که از آنجا از مرتبه 2 خواهد بود که i زوج باشد. بنابراین در این مورد Nx شامل 128 عضو از مرتبه 2 است.
اگر آن‌گاه و بنابراین از مرتبه 2 است وقتی که i، 128 را عاد کند. پس در این مورد Nx دو عضو از مرتبه 2 دارد یعنی x و zx..
اگر آنگاه برای هر i، پس در این مورد همه 256 عضو از Nx دارای مرتبه 2‌ اند. با این بحث نتیجه می‌شود که هر همدسته از N در G شامل 0، 1، 2، 128 یا 256 عضو از مرتبه 2 می‌باشند. سرانجام فرض کنید تعداد عناصر از مرتبه 2 در j ام همدسته N در G باشد، چون تعداد ها برابر 32 است و جمع ها باید برابر 255 باشد این غیرممکن است، زیرا با توجه به اینکه نمی‌توانیم 32 عدد از میان اعداد را انتخاب کنیم بطوری که جمع آنها 255 باشد. بنابراین چنین گروهی وجود ندارد. در نتیجه .
با توجه به بحث اولیه داشتیم که ، و . فرض کنید از آنجا که در آن k تعداد زیرگروههای دوری در می‌باشد. در نتیجه که از (*) می‌توان یک تناقض بدست آورد. بنابراین از آنجا که نتیجه می‌دهد . از طرفی چون خواهیم داشت یا . فرض کنید . نشان می‌دهیم که G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد آن‌گاه با توجه به اینکه از قضیه (1-2-5) نتیجه می‌شود که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. اکنون چون G غیرحلپذیر و جائیکه می‌توان نتیجه گرفت که G دارای یک سری نرمال است به طوری که N یک زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر و زیرگروه نرمال مینیمال غیرحلپذیر است. واضح است که یک گروه ساده و یا یک گروه ساده است. اگر یک گروه ساده باشد آن‌گاه از قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که ایزومورف با است. فرض کنید آن‌گاه و که در آن t یک عدد صحیح مثبت است و5 عدد t را عاد نمی کند. چون آن‌گاه که یک تناقض است. بنابراین یک گروه ساده است. از قضیه (1-3-9) نتیجه می‌شود که . حال اگر قرار دهیم و آن‌گاه:

مطلب مرتبط :   کودکان مبتلا و تشخیص بیماری

. آن گاه واگر فرض کنیم
ایزومورف با یکی از گروههای آن گاه بنابراین
خواهد بود. یا ,
اگر با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آوریم و اگر آن‌گاه و . اما چون یک تناقض بدست می‌آید.
اگر آن‌گاه . از طرفی و N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است پس . بنابراین و . شبیه آنچه که در مورد ثابت کرده‌ایم، اگر f همریختی طبیعی از G به باشد آن‌گاه تصاویر عناصر از مرتبه 2 در اجتماعی از کلاسهای تزویج در می‌باشند. همچنین ما می‌دانیم که f شامل 128 تصویر از عناصر مرتبه 2 می‌باشد. از طرفی تنها یک کلاس تزویج از عناصر مرتبه 2 در وجود دارد که مرتبه آن 255 است. بنابراین چطور می توان 128 تصویر از مرتبه 2 در را با استفاده از اجتماعی از چنین کلاس تزویجی بدست آوریم، این یک تناقض خواهد بود. در نتیجه . بنابراین باتوجه به اینکه یک گروه ساده است از [27] داریم .
قضیه 2-4-2 فرض کنید G یک گروه و
آن گاه .
برهان. نشان می‌دهیم چون از آن نتیجه می شود که و . فرض کنید از (*) نتیجه می شود . اگر آن‌گاه . همچنین اگر آن‌گاه از (*) داریم برابر 306 یا 612 می باشد و یا که در هر صورت یک تناقض بدست می‌آید. پس به همین صورت می‌توان نشان داد که . در نتیجه .
اگر آن‌گاه و . همچنین از (*) می‌توان به آسانی نتیجه گرفت که گروه G دارای هیچ عضوی از مرتبه ، ، ، و نمی‌باشد. فرض کنید چون آن‌گاه برابر است با 3، 9 یا 27. اگر آن‌گاه و از آنجا و . بنابراین . اگر با توجه به اینکه و نتیجه می‌شود و . بنابراین . اگر ، با توجه به اینکه نتیجه می‌شود اعداد 81 یا 243 را عاد می‌کند. حال اگر آن‌گاه برابر 34 یا 16 خواهد بود. اگر آن‌گاه و اگر با توجه به اینکه هر گروه دوری از مرتبه 27 دارای 2 عضو از مرتبه 3 دارد و هر عضو از مرتبه 3 در یک سیلو 3- زیرگروه G قرار می‌گیرد، آن‌گاه که یک تناقض است. حال اگر آن‌گاه بنا به قضیه (1-2-3) که یک تناقض است پس در هر صورت اگر آن‌گاه . حال فرض کنید ، چون گروه G عضوی از مرتبه ندارد پس . با توجه به اینکه ، نتیجه می‌شود و . بنابراین اگر آن‌گاه . با این بحث کافی است نشان دهیم که نمی‌تواند باشد که از آنجا نتیجه می‌شود که . فرض کنید ، در این صورت ، آن‌گاه داریم:

مطلب مرتبط :   منابع تحقیق درباره برانگیختگی و پدیده ها

جائیکه . واضح است که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست. بنابراین برابر نیست، پس . با توجه به اینکه می توان نتیجه گرفت نشان می‌دهیم . فرض کنید آن‌گاه جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 2 در می‌باشد. با توجه به اینکه داریم پس . اما از (*) به راحتی می‌توان یک تناقض بدست آورد. در نتیجه ، آن‌گاه . بنابراین . همچنین چون آن‌گاه و از آنجا . ما می‌دانیم بنابراین مرتبه گروه G برابر است با یا . شبیه قضیه قبل به آسانی می‌توان نشان داد که مرتبه G نمی‌تواند برابر باشد در نتیجه . در [28] ثابت شده که گروههای ساده با nse و مرتبه تشخیص پذیر هستند جون یک گروه ساده است بنابراین .
قضیه 2-4-3 فرض کنید G یک گروه و
آن‌گاه .
برهان. واضح است که G متناهی و . چون آن‌گاه و . اگر ، آن‌گاه ، و . همچنین به آسانی می‌توان نشان داد که گروه G عضوی از مرتبه 27، 32، 95، 125 و 361 ندارد. اگر با توجه به اینکه آن‌گاه برابر 3 یا 9 است. اگر برابر با 3 باشد آن‌گاه . بنابراین و در نتیجه . اگر آن‌گاه و . بنابراین . پس در هر صورت اگر که نتیجه می‌دهد . اگر با توجه به اینکه آن‌گاه برابر 5 یا 25 است. اگر برابر با 5 باشد آن‌گاه . بنابراین و در نتیجه . همچنین اگر آن‌گاه و از آنجائی که نتیجه می‌دهد ، پس . بنابراین اگر در هر صورت . حال فرض کنید ، از آنجا که می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین . اگر آن‌گاه ، در نتیجه . با توجه به آنچه که در بالا نشان داده شده . اگر و آن‌گاه داریم:

جائیکه . چون نتیجه می‌شود . بنابراین . به آسانی می‌توان دید که این معادله دارای جواب نیست، در نتیجه فرض اینکه نادرست است. پس حداقل 3 و 5 یکی باید در باشد که با توجه به بحث قبلی نتیجه می‌دهد . حالا نشان می‌دهیم نمی‌تواند باشد در نتیجه باید باشد. فرض کنید آن‌گاه . چون دارای شش عضو است این غیرممکن است. اکنون ما می‌دانیم و . به آسانی می‌توان نشان داد که گروه G عضوی از 15 و 38 نمی‌باشد، بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که و . اکنون داریم و با توجه به اینکه نتیجه می‌شود که مرتبه G برابر با یا است. اگر باشد، آن‌گاه مشابه آنچه که برای گفته شد را می‌توان بکار برد و یک تناقض بدست آورد. بنابراین ، چون یک گروه ساده است از [27] داریم .
قضیه 2-4-4 فرض کنید G یک گروه آن‌گاه .
برهان. واضح است که . چون آن‌گاه و . اگر و 11، 3 آن‌گاه ، و . همچنین به آسانی می‌توان بررسی کرد که G دارای هیچ عضوی از مرتبه 22، 27، 33، 64، 121، 184، 253 و 529 نمی‌باشد.