2-2- معرفی مدل‏های ریاضی سیستم‏های حاوی بکلش
سیستم‏های بدون بکلش که شفت آنها دارای بکلش می‏باشد را سیستم‏های حاوی بکلش گویند. شماتیک کلی سیستم‏های حاوی بکلش در شکل 2-3 نشان داده شده است.
شکل 2-3- شماتیک کلی سیستم‏های حاوی بکلش
که نشان دهنده ماکزیمم زاویه بکلش می‏باشد. همانطور که در شکل شماره 2-3 مشاهده می‏کنید، سیستم‏های حاوی بکلش را می‏توان بصورت سیستم‏هایی که شامل سه قسمت:
موتور الکتریکی
بار مکانیکی
بکلش (رابط بین دو قسمت اول و دوم)
می‏باشند در نظر گرفت. روابط ریاضی استاندارد حاکم بر سیستم‏های حاوی بکلش بدون در نظر گرفتن مدل بکلش، بصورت زیر تعریف می‏شوند [1] و [36]:
(2-2)
(3-2)
(4-4)
(5-5)
(6-6)
(7-2)
که در آن نشان دهنده ممان اینرسی موتور، اصطکاک ویسکاز موتور، گشتاور موتور، گشتاور انتقالی شفت، ضریب کشسانی شفت، ضریب میرایی شفت، ممان اینرسی بار، ضریب ویسکاز بار و نشان دهنده گشتاور اغتشاشی است که به سمت بار وارد می‏شود. ، و به ترتیب زاویه موتور، زاویه بار و اختلاف زاویه بین زاویه موتور و بار می‏باشند و ، و به ترتیب سرعت زاویه‏ای چرخش موتور، سرعت زاویه‏ای چرخش بار و سرعت زاویه‏ای اختلاف بین موتور و بار می باشد. زاویه پیچشی دو سر شفت و نشان دهنده سرعت زاویه‏ای پیچشی دو سر شفت می‏باشد.
در ادامه مدل‏ها و روابط ریاضی توصیف‏کننده‏ی پدیده غیرخطی بکلش مورد بررسی قرار خواهند گرفت.
2-2-1- مدل‏ Dead Zone
یکی از مدل‏های رایج ارائه شده برای سیستم‏های حاوی بکلش در بسیاری از مقاله ها و از جمله [37] الی [40]، مدل Dead Zone می‏باشد. از این مدل ساده برای آنالیز و شبیه‏سازی اکثر سیستم‏های حاوی بکلش استفاده می‏شود. در این مدل معمولاً گشتاور شفت را متناسب با زاویه پیچشی دو سر شفت در نظر می گیرند:
(8-2)
که در آن ضریب کشسانی شفت می باشد و تابع Dead Zone بصورت زیر تعریف می‏شود:
(9-2)
در این مدل، بصورت تابعی از زاویه اختلاف بدست می آید. مدل Dead Zone مدلی استاتیک است که بصورت یک تابع اسکالر غیرخطی بیان می شود و این بدان معناست که نسبتاً دارای تحلیل راحت‏تری می‏باشد.
بلوک دیاگرام سیستم‏های حاوی بکلش با مدل بکلش Dead Zone را با در نظر گرفتن رابطه (6-6) می‏توان بصورت زیر نشان داد:
شکل 2-4- بلوک دیاگرام یک سیستم حاوی بکلش با مدل بکلش Dead Zone