2-2-2- مدل‏ بکلش با استفاده از توابع توصیف‏کننده
یکی از روش‏های رایج برای تجزیه و تحلیل سیستم‏های غیرخطی استفاده از توابع توصیف‏کننده است [25]، [39]، [41] و [42]. از ایده توابع توصیف‏کننده می‏توان استفاده کرد و تابع توصیف‏کننده بدست آمده را جایگزین عنصر غیرخطی کرد. در حالت کلی یک تابع توصیف‏کننده‏ی دو ورودی را بصورت زیر می‏توان تعریف کرد که ورودی‏های آن، موج سینوسی با یک مقدار بایاس و ثابت B می‏باشند.
(10-2)
گشتاور را با استفاده از یک مقدار آفست و هارمونیک اول تابع سینوسی بصورت زیر می‏توان تخمین زد:
(11-2)
که در آن و با استفاده از تکنیک تابع توصیف‏کننده‏ی دو ورودی محاسبه می‏شوند.
2-2-3- مدل هیسترسیس
در این مدل زاویه بار (بعنوان خروجی) را می‏توان به صورت تابعی از زاویه موتور (بعنوان ورودی) بدست آورد [43]. با فرض اینکه شفت سفت باشد و گشتاور اغتشاشی برابر صفر باشد، این رابطه بصورت زیر بیان می‏شود:
(12-2)
در این رابطه فرض شده است که نسبت چرخ‏دنده‏ها برابر عدد یک می باشد. به این مدل، مدل هیسترسیس اصطکاکی می‏گویند. یکی از ویژگی‏های مهم این مدل این است که در هر لحظه‏ای که فاصله بکلش باز ‏باشد، بار در هر موقعیتی که ‏باشد باقی می ماند. این امر به دلیل وجود اصطکاک زیاد اتفاق می‏افتد.
مدل هیسترسیس اینرسی نیز بصورت زیر تعریف می‏شود:
(13-2)
در این مدل فرض شده است که اصطکاک موجود در فاصله بکلش صفر می‏باشد و هر زمانی که فاصله بکلش صفر نیست، بار با همان سرعت قبلی به چرخش خود ادامه می‏دهد.
2-2-4- مدل دقیق‏ بکلش
دینامیک و مدل دقیق ریاضی بکلش در [44] بطور کامل اثبات و بدست آورده شده است. روابط ریاضی این مدل بصورت زیر تعریف می‏شوند:
(14-2)
(15-2)
در این روش می‏توان دینامیک زاویه بکلش را بصورت تابعی از بدست آورد:
(16-2)
با بدست آوردن سرعت زاویه‏ای بکلش از رابطه (2-16)، می‏توان سرعت زاویه‏ای پیچشی دو سر شفت، زاویه پیچشی دو سر شفت و گشتاور شفت را به ترتیب با استفاده از روابط (2-15)، (2-7) و (2-6) بدست آورد.
2-3- روش شناسایی ارائه شده
در تحقیقات انجام شده‏ی موجود، روش‏های شناسایی متنوعی برای شناسایی سیستم‏های حاوی بکلش وجود دارند. در اکثر مقالات به شناسایی ماکزیمم اندازه زاویه بکلش بعنوان یکی از مجهولات مرسوم و مهم این سیستم‏ها پرداخته شده است. از جمله این مقالات می‏توان به [45]، [46]، [47] و [48] اشاره کرد. اغلب مقالات موجود با این فرض کار شناسایی را انجام می‏دهند که یا بعضی از پارامترهای سیستم معلوم می‏باشند و یا بعضی سیگنال‏های مهم (از جمله زاویه بکلش و یا گشتاور شفت) قابل اندازه‏گیری می‏باشند.
در این قسمت، به معرفی یک روش شناسایی نوین پرداخته خواهد شد که در آن تمامی پارامترهای فیزیکی سیستم نامعلوم فرض شده است و تنها نیاز به اندازه‏گیری سیگنال‏های سمت موتور و بار دارد. این روش ارائه شده دارای دو هدف اصلی می‏باشد:
شناسایی تمامی پارامترهای فیزیکی سیستم و تخمین تمامی سیگنال‏های موجود سیستم، فقط با استفاده از سیگنال‏های فیدبک از سمت موتور و بار