مجموعه و ماتریس

همچنین داریم: و
ماتریس ، را یک ماتریس متعامد می نامیم هرگاه که در آن ترانهاده ماتریس است. به وضوح هر ماتریس متعامد وارونپذیر است و . همچنین دترمینان هر ماتریس متعامد است. حاصلضرب هر دو ماتریس متعامد باز هم یک ماتریس متعامد است. بعلاوه وارون یک ماتریس متعامد یک ماتریس متعامد است و همچنین ماتریس همانی نیز یک ماتریس متعامد است. لذا مجموعه ماتریسهای متعامد با ضرب ماتریسها تشکیل یک گروه می دهد که آن را با نمایش داده به آن گروه متعامد می گوییم. زیر گروهی از این عناصر که دارای دترمینان یک باشد را گروه متعامد خاص نامیده و آن را با نمایش می دهیم. همانند موارد قبل می توان یا گروه متعامد خاص تصویری را تعریف کرد. اما این گروه ساده نیست. ابتدا فرض کنید فرد و توانی از یک عدد اول فرد باشد. در این صورت شامل زیر گروهی نرمال از اندیس ۲ است. چنانچه زیر گروه مشتق گروه را بدست آوریم زیر گروهی از اندیس حداکثر۲ خواهد شد که آنرا با نمایش می دهیم. حال طبق معمول گروه خارج قسمتی را با یا نمایش می دهیم که گروهی از مرتبه

است که در آن . گروه با گروه یکریخت است و گروه با گروه سیمپلکتیک یکریخت است. اما برای گروه با هیچ گروه ساده دیگری یکریخت نیست. اگر زوج باشد و را توان یک عدد اول فرد در نظر بگیریم ،آنگاه دو فرم دو خطی نا منفرد غیر هم ارز بر روی فضای برداری بدست می آید. این فرمها دو گروه مختلف از ماتریسهای متعامد را مشخص می کنند که آنها را با و ( به ترتیب و ) نمایش می دهیم. در مورد مرتبه این گروهها می توان نوشت:

مطلب مرتبط :   منابع و ماخذ تحقیق:سازمان بهداشت جهانی

که در آن و بزرگترین مقسوم علیه مشترک ۴ و است و

که در آن باز هم بزرگترین مقسوم علیه مشترک۴ و است طبق معمول برای های کوچک برخی از یکریختیها برقرار است:

به خصوص هیچوقت ساده نیست. اما چنانچه و فرض کنیم ، آنگاه با یکریخت است. ولی اگر زوج باشد همان روند بالا را می توان تکرار کرد. گروه را با نماد نیز نمایش می دهند و نهایتا را نیز با نماد نمایش داده می شود. جزء آخر رده بندی، مجموعه ۲۶ عضوی گروههای پراکنده می باشد. پنج گروه از این مجموعه توسط ماتیو ، در سال ۱۸۶۱ و ۱۸۷۳ کشف شدند. گروه بعدی یعنی ، در سال ۱۹۶۵ توسط یانکو کشف شد. کشف اکثر این گروهها در سال ۱۹۶۰ تا سال ۱۹۷۰ بوده است.
گروههای و را گروههای ماتیو می نامند. گروههای و را گروههای یانکو می نامند. گروه را گروه هال – یانکو نیز می نامند و به همین دلیل آنرا با نماد نیزنمایش می دهند. گروههای و را گروههای فیشر می نامند. همچنین گروههای و را گروههای کانوی می نامند. سایر گروههای پراکنده عبارتند از: (سوزوکی )، ( هگمن – سیمز )، (مک لافلن )، (هلد )، (هارادا – نرتن )، (تامپسون )، ، ، ( اونان )، (لیونز )، (رودوالیس ).
باتوجه به اینکه در فصل دوم تشخیص پذیری گروههای ماتیو مورد بررسی قرار خواهند گرفت درباره این گروهها توضیحات بیشتری ارائه می کنیم.
تعریف: مجموعه را که در آن q توانی از یک عدد اول فرد است به صورت زیر تعریف می کنیم

مطلب مرتبط :   آیین دادرسی کیفری

تذکر: در[35] ثابت می شود که روی ، انتقالی عمل می کند.
تعریف: فرض کنید G روی X عمل کند و حرفی متمایز از X باشد. قرار دهید و فرض کنید یک گروه جایگشتی روی باشد. می گوئیم یک توسیع انتقالی Gاست هرگاه
روی انتقالی باشد و
.
قضیه 1-3-3 گروه را که روی مجموعه ، انتقالی است در نظر بگیرید. فرض کنید حرفی باشد که در X وجود ندارد در اینصورت دارای توسیع انتقالی روی است که روی آن به صورت انتقالی عمل می کند و . اصطلاحا” گروه را که بانماد نشان می دهیم گروه ماتیو از درجه 11 می گویند.
برهان. به [26] رجوع شود.
قضیه 1-3-4 گروه روی 12 حرف دارای توسیع انتقالی است این توسیع انتقالی را با نماد نمایش داده و به آن گروه ماتیو روی 12 حرف می نامند. همچنین این گروه انتقالی بوده و .
برهان. به [26] رجوع شود.
تعریف: را برابر گروه تعریف می کنیم.
قضیه 1-3-5 گروه روی 22 حرف دارای توسیع انتقالی است این توسیع انتقالی را با نماد نمایش داده و به آن گروه ماتیو روی 22 حرف می نامند. همچنین این گروه انتقالی بوده و .