-6 تشخیص‌پذیری گروههای ساده پراکنده
باتوجه به اینکه در [29] با استفاده از یک اثبات خیلی طولانی ثابت شده گروههای ماتیو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم‌مرتبه و مرتبه یک گروه تشخیص‌پذیرند. در این بخش از رساله با استفاده از یک اثبات خیلی کوتاه نشان می‌دهیم که همه گروههای ساده پراکنده با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم‌مرتبه و مرتبه آن گروه تشخیص‌پذیرند.
قضیه 2-6-1 فرض کنید G یک گروه|G|=|S| و جائیکه S یک گروه ساده پراکنده باشد آنگاه .
برهان. فرض کنید p بزرگترین مقسوم علیه مرتبه G باشد، چون Sیک گروه ساده پراکنده باشد آنگاه مرتبه گروه Gرا عاد نمی کند. از طرفی از (*) داریم و . اکنون باتوجه به اینکه می توان به آسانی بررسی کرد که برای هرگروه ساده پراکنده که تنها عددی که در رابطه (*)صدق می کند همان است، بنابراین . چون مرتبه گروه Gرا عاد نمی کند آنگاه جائیکه k تعداد سیلو p- زیرگروههای گروه G است، در نتیجه تعداد سیلو p- زیرگروههای گروه Gبا تعداد سیلو p- زیرگروههای گروه S برابراست. باتوجه به فرض |G|=|S|که از نتیجه می شود مرتبه نرمالسازهر سیلو p- زیرگروه G با مرتبه نرمالساز هر سیلو p- زیرگروه S برابرند اکنون با توجه به قضییه1-3-9 .
نتایج حاصل از این بخش در مقاله ای تحت عنوان:
A Characterization of Sporadic Simple Groups by NSE and Order
در سال 2012 در مجله
Journal of Algebra and Its Applications
موفق به پذیرش چاپ کردید.
فصل سوم
تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی
3-1 مقدمه
در سال 1992، بی در [1] ثابت کرد که گروههای می‌تواند با استفاده از مرتبه نرمالساز سیلو زیرگروهها تشخیص‌پذیر باشد. این نوع تشخیص‌پذیری تا بحال برای گروههای [2]، [4] ، گروههای متناوب ساده[3]، [5]، [23] و گروههای ساده پراکنده[20] بررسی شده است. فرض کنید S یکی از گروههای ساده فوق باشد و داشته باشیم ، برای هر عدد اول p آن‌گاه واضح است که گروه G با S ایزومورف است. در این فصل از رساله قصد داریم شرط مرتبه را برداشته و بجای آن شرط بدیهی بودن مرکز گروه را جایگزین کنیم و خواهیم دید که گروههای خطی برای با استفاده از تعداد سیلو زیرگروههای یک گروه با مرکز بدیهی تشخیص‌پذیر و یا –k تشخیص‌پذیر خواهند بود. باید توجه داشت که همه گروههای ساده الزاماً با این روش تشخیص‌پذیر و یا –k تشخیص‌پذیر نیستند. به عنوان مثال برای گروه ساده این مطلب درست نیست. زیرا با فرض اینکه G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی باشد و برای هر ، گروه حلپذیری وجود دارد که با یکریخت نیست. کافی است گروه G را به صورت ، جائیکه D گروه دو جهی از مرتبه 42 و H را یک حاصلضرب نیم مستقیم از فضای برداری V از بعد 3 روی که بوسیله یک زیر گروه از مرتبه 21 از روی V بطور طبیعی عمل می‌کند در نظر بگیریم. این گروه در شرایط بالا صدق می‌کند ولی با یکریخت نیست.
3-2 تشخیص‌پذیری گروههای خطی
قضیه 3-2-1 فرض کنید G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی و برای هر آن‌گاه .
برهان. ابتدا ثابت می‌کنیم که G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد با توجه به اینکه از قضیه (1-2-5) داریم که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. چون G متناهی است، آن دارای یک سری اساسی است. فرض کنید سری اساسی G باشد. چون G غیرحلپذیر است بزرگترین عدد طبیعی i وجود دارد بطوری که یک گروه ساده و یا حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده ایزومورف با هم است و زیر گروه ماکسیمال حلپذیر G است. حال قرار دهید و بنابراین گروه G دارای یک سری نرمال به صورت زیر خواهد بود:

مطلب مرتبط :   دانلود فیلم

به طوری که یک گروه ساده غیرآبلی یا یک حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم است. چون G یک گروه است آن‌گاه یک گروه ساده یا حاصلضرب مستقیمی از گروههای ساده ایزومورف با هم است.
از قضیه (1-2-2) برای هر ، داریم ، در نتیجه از قضیه (1-3-8) حال قرار دهید و آن‌گاه داریم:

فرض کنید آن‌گاه ، در نتیجه . فرض کنید ، داریم و ، چون این یک تناقض است. بنابراین نمی‌تواند با ایزومورف باشد، در نتیجه . حالا فرض کنید از قضیه (1-2-2) داریم برای هر p، آن‌گاه می توان نتیجه گرفت K پوچتوان است. از طرفی داریم و N زیر گروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است از آن نتیجه می‌شود K غیرحلپذیر است که یک تناقض است. بنابراین ، آن‌گاه . ادعا می‌کنیم که . فرض کنید و Q یک سیلو زیرگروه غیربدیهی از N باشد. چون N پوچتوان و زیرگروه نرمال G آن‌گاه Q در G نرمال است. فرض کنید ، واضح است که و Z هم زیر گروه نرمال G است. فرض کنید P یک سیلو زیرگروه از G باشد به طوری که و . از اینکه نتیجه می‌شودP در نرمالساز Z قرار دارد که به آسانی نتیجه می‌شود . همچنین که از آن نتیجه می‌شود . بنابراین ، آن‌گاه . همچنین از اینکه نتیجه می‌شود که زیر گروه نرمال G است. چون N پوچتوان است آن‌گاه . اکنون داریم . با توجه به اینکه P شامل N نیست و گروهی ساده است نتیجه می‌شود . بنابراین ، در نتیجه در مرکز G قرار می‌گیرد. با توجه به اینکه طبق فرض قضیه ، این یک تناقض است. بنابراین که از آن نتیجه می‌شود .
قضیه 3-2-2 فرض کنید G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی و برای هر ، آن‌گاه یا به عبارت دیگر .
برهان. ابتدا ثابت می‌کنیم G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، با توجه به اینکه آن‌گاه که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. چون G غیرحلپذیر و متناهی است مثل قضیه قبلی G دارای سری نرمال زیر است: