اگر با توجه به اینکه داریم برابر است با 3 یا 9. فرض کنید آن‌گاه . بنابراین و ، در نتیجه اگر آن‌گاه از اینکه نتیجه می‌شود برابر با 9 یا 27 است.
ابتدا فرض کنید ‌ آن‌گاه برابر 88 یا 460 می باشد. در حالتی که با توجه به اینکه یک تناقض است و در حالتی که ، با توجه به اینکه یک گروه دوری از مرتبه 9 دارای 2 عضو از مرتبه 3 است نتیجه می‌شود که تناقض است. بنابراین بنا به قضیه (1-2-3) که یک تناقض است. نتیجه می‌گیریم اگر آن‌گاه . حالا فرض کنید چون آن‌گاه می‌توان نتیجه گرفت و . بنابراین و از آنجا . همچنین اگر فرض کنیم ، چون آن‌گاه . اگر آن‌گاه در نتیجه پس و اگر و آن‌گاه داریم:

جائیکه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که این معادله دارای هیچ جوابی نیست. بنابراین فرض اینکه غلط است. پس حداقل 3 یا 11 یکی باید در باشد، که با توجه به بحث قبلی .
حالا نشان می‌دهیم که نمی‌تواند باشد، در نتیجه باید باشد. فرض کنید ، آن‌گاه بنابراین داریم:

جائیکه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که این معادله جواب ندارد.
اکنون ما می‌دانیم ، و چون از آن می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین . همچنین می‌دانیم ، بنابراین ، در نتیجه . از طرفی می‌دانیم ، آن‌گاه ، یعنی . چون یک گروه ساده است از [27] داریم .
نتایج حاصل از این بخش را در مقاله‌ای تحت عنوان:
A new Charaterization of for some q
تدوین و برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است [16]. 2-5 تشخیص‌پذیری گروههای ماتیو
در [29] ثابت شده است که گروههای ماتیو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم‌مرتبه و مرتبه یک گروه تشخیص‌پذیرند. در این بخش از رساله نشان می‌دهیم که گروههای ماتیو فقط با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم‌مرتبه یک گروه تشخیص‌پذیرند.
قضیه 2-5-1 فرض کنید G یک گروه و

مطلب مرتبط :   خرید پایان نامه :حقوق طلبکار

آن‌گاه .
برهان. چون آن‌گاه و . به آسانی می‌توان نشان داد . اگر از (*) نتیجه می‌شود ، و . همچنین به آسانی از (*) می‌توان دید که گروه G دارای هیچ عضوی از مرتبه 81، 121، 125و 192 نمی‌باشد. اگر آن‌گاه از (*) داریم ، ، ، و همچنین اگر آن‌گاه . فرض کنید ، چون ‌آن‌گاه برابر 5 یا 25 است. اگر آن‌گاه ، در نتیجه و بنابراین . اگر از اینکه و داریم . بنابراین برابر است با 22 یا 72 که با استفاده از قضیه سیلو یک تناقض حاصل می‌شود. در نتیجه . حالا فرض کنید ، با توجه به اینکه آن‌گاه . بنابراین که نتیجه می‌دهد و . با توجه به نتیجه می‌شود که اگر آن‌گاه . در ادامه کار نشان می‌دهیم نمی‌تواند ، و و با توجه به بحث بالا باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد1. فرض کنید . چون 128 آن گاه چون nse(G) دارای هفت عضو است این غیر ممکن است.
مورد2. . با توجه به اینکه داریم که یکی از اعداد 2، 4، 8، 16، 32 یا 4 6 است. همچنین می‌دانیم اگر برای آن‌گاه . با استفاده از یک برنامه کامپیوتری ساده می‌توان نشان داد که . از طرفی چون ‌ آن‌گاه برابر 3، 9، 27 یا 81 است. حالا زیر موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
زیر مورد 2-1. فرض کنید ، آن‌گاه در نتیجه . اگر ، آن‌گاه ، با توجه به اینکه یک تناقض است و اگر آن‌گاه خواهیم داشت:

جائیکه m، ، ، ، ، ، اعداد صحیح نامنفی‌اند. چون ‌آن‌گاه

بنابراین . واضح است که، که نتیجه می‌دهد که یک تناقض با می‌باشد.
زیر مورد 2-2. فرض کنید . از آنجا که آن‌گاه، . فرض کنید آن‌گاه . از اینکه یک تناقض بدست می‌آید. حال فرض کنید . با توجه به اینکه نتیجه می‌شود که . بنابراین خواهیم داشت .