جائیکه ، و m اعداد صحیح نامنفی‌اند و . با در نظر گرفتن حالتهای ممکن برای ، و m به آسانی می‌توان بررسی کرد که تنها جواب معادله بالا برابر است با . بنابراین و . اما همه گروههای غیردوری از مرتبه 32 که دارای عضوی از مرتبه 16 باشند، معلوم‌اند و ما می‌دانیم که فقط چهار گروه، با چنین ویژگی وجود دارد ([10] فصل 5 قضیه 4-4). چون مجموعه تمام عناصر هم‌مرتبه این گروهها یعنی nse آنها با nse(G) برابر نیست، بنابراین غیرممکن است. حالا فرض کنید آن‌گاه:

جائیکه ، با در نظر گرفتن حالتهای ممکن برای و به آسانی می‌توان بررسی کرد که تنها جواب‌های این معادله برابرند با:


یا . اگر آن‌گاه و . اما چون و باید داشته باشیم که یک تناقض است. بنابراین آن‌گاه و که نتیجه می‌دهد .
قضیه 2-3-3 فرض کنید G یک گروه آن‌گاه .
برهان: نشان می‌دهیم که چون از آن نتیجه می‌شود که و . فرض کنید با استفاده از (*) می‌توان نشان داد که . اگر آن‌گاه . فرض کنید از (*) داریم و که یک تناقض است. بنابراین . در نتیجه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نیمه منظم عمل می‌کند. بنابراین که یک تناقض است. پس واز آنجا . اگر آنگاه و ، همچنین از (*) نتیجه می‌شود که گروه G عضوی از مرتبه 15، 16، 18، 25، 27، 36 و72 ندارد.
اکنون نشان می‌دهیم که نمی‌تواند ، و باشد در نتیجه باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید . چون آن‌گاه

مطلب مرتبط :   خرید پایان نامه :ساختار سرمایه

جائیکه . با در نظر گرفتن اینکه ، و صفر می باشند به آسانی نتیجه می‌شود که این معادله دارای جواب نمی‌باشد بنابراین این مورد غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید آن‌گاه

جائیکه . با در نظر گرفتن مقادیر مختلف برای ، و باتوجه به شرط می توان نشان داد معادله فقط دارای یک جواب به صورت می‌باشد. بنابراین و ، که نتیجه می‌دهد و دوری است. چون دوری است آن‌گاه . از طرفی چون هر سیلو 2- زیرگروه دوری از مرتبه 4 فقط دارای یک عضو از مرتبه 2 است آن‌گاه که یک تناقض است. بنابراین، این مورد غیرممکن است.
مورد 3. فرض کنید . چون آن‌گاه برابر 3 یا 9 است. اگر آن‌گاه . از اینکه داریم و از آنجا بنابراین می‌توان نوشت:

جائیکه . واضح است که در نتیجه . اکنون باتوجه به شرط به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست.
اگر آن‌گاه با توجه به اینکه و نتیجه می‌شود . بنابراین . چون یک گروه دوری از مرتبه 9 دارای دو عضو از مرتبه 3 است آن‌گاه که یک تناقض است. در نتیجه باید باشد. چون گروه G عضوی از مرتبه 15 ندارد آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 3 به طور نیمه منظم عمل می‌کند، آنگاه در نتیجه . به طور مشابه که نتیجه می‌دهد . اکنون نشان می‌دهیم که گروه G عضوی از مرتبه 10 ندارد. فرض کنید آن‌گاه جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 2 در می باشند. چون داریم بنابراین حال از (*) داریم که یک تناقض است. حال چون گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 به طور نیمه منظم عمل می‌کند که نتیجه می‌دهد . با توجه به اینکه خواهیم داشت و از آنجا . اکنون چون مرتبه گروهG با مرتبه گروه برابرو با استفاده از [6] داریم .
قضیه 2-3-4 فرض کنید G یک گروه و آن‌گاه .
برهان: نشان می‌دهیم که . چون نتیجه می‌شود که و . فرض کنید ‌ از ‌(*) نتیجه می‌شود که . اگر ‌ آن‌گاه از (*) داریم . فرض کنید ‌ آن‌گاه داریم که با استفاده از (*) می‌توان یک تناقض بدست آورد. پس آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نیمه منظم عمل می‌کند که نتیجه می‌دهد که یک تناقض است. به طریق مشابه می‌توان نشان داد که . بنابراین . اگر ‌ آن‌گاه و . همچنین به آسانی می‌توان نشان داد که گروه G دارای هیچ عضوی از مرتبه 64، 181 و 125 نمی‌باشد. اکنون نشان می‌دهیم که نمی‌تواند ، و یا باشد در نتیجه باید باشد موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید آن‌گاه . بنابراین خواهیم داشت:

مطلب مرتبط :   خرید پایان نامه :دائن

جائیکه . با توجه به شرط نتیجه می شود واضح است که این معادله جواب ندارد پس این مورد امکان‌پذیر نیست.
مورد 2. فرض کنید . چون آن‌‌گاه برابر 5 یا 25 است. فرض کنید آن‌گاه و از آنجا پس داریم: