معادله و محاسبه

بنابراین مقدار m برابر 9 یا 10 خواهد بود که در هر صورت یک تناقض است و اگر فرض کنیم آن ‌گاه داریم . در نتیجه m بابر 7 یا 8 خواهد بود اگر که یک تناقض است. اگر معادله بالا به شکل زیر در‌می‌آید:

جائیکه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که این معادله دارای هیچ جوابی نمی‌باشد، پس این زیر مورد ممکن نیست.
زیرمورد 2-3. فرض کنید واضح است که . اگر ، آن‌گاه، ، با توجه به اینکه یک تناقض است. اگر آن‌گاه از قضیه (1-2-3) داریم که تناقض است.
مورد 3. فرض کنید قبلاً نشان داده‌ایم و ، با توجه به آن به سادگی می‌توان نشان داد که G عضوی از مرتبه 22 و 33 ندارد. چون آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 11 بطور نیمه منظم عمل می‌کند آن‌گاه که از آنجا . همچنین از اینکه داریم که نتیجه می‌دهد . بنابراین از طرفی داریم که یک تناقض است.
در نتیجه با توجه به توضحیات قبلی . نشان می‌دهیم فرض کنید آن‌گاه ، جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 2 در است. بنابراین ، پس . از (*) داریم که یک تناقض است. بنابراین آن‌گاه در نتیجه اکنون می دانیم ، ، و و ، آن‌گاه یعنی . از [29] داریم گروههای ساده ماتیو با nse و مرتبه تشخیص پذیرند بنابراین .
قضیه 2-5-2 فرض کنید G یک گروه و

آن‌گاه .
برهان. چون ‌آن‌گاه و . به آسانی می‌توان نشان داد . اگر از (*) نتیجه می‌شود ، و . همچنین به آسانی از (*) می‌توان دید که گروه G دارای هیچ عضوی از مرتبه 25، 121، و نیست.
فرض کنید ، چون آن‌گاه . بنابراین و در نتیجه و . بنابر این داریم . حالا فرض کنید ، چون ، آن‌گاه . بنابراین و ، در نتیجه توجه به این بحث کافی است نشان دهیم نمی‌تواند ، ، باشد، که از آنجا می‌توان نتیجه گرفت موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید . چون آن‌گاه بنابراین خواهیم داشت:

مطلب مرتبط :   پایان نامه رایگان درمورد الگوریتم مورچگان و جستجوی محلی

جائیکه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که این معادله دارای هیچ جوابی نیست، بنابراین این مورد غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید . با توجه به اینکه داریم یکی از اعداد 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128 یا 256 است. همچنین می‌دانیم اگر برای آن‌گاه . با استفاده از یک محاسبه کامپیوتری ساده، می‌توان نشان داد که . از طرفی چون ‌ آن‌گاه برابر 3، 9، 27 یا 81 است. حالا زیر موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
زیرمورد 2-1. فرض کنید ، آن‌گاه . در نتیجه . اگر آن‌گاه ،از اینکه یک تناقض بدست می‌آید. اگر آن‌گاه داریم:

جائیکه ، ، ، ، و اعداد صحیح نامنفی‌اند. با توجه به اینکه ‌آن‌گاه .
بنابراین از معادله بالاداریم ، آن‌گاه . چون یک تناقض بدست می‌آید. همچنین اگر ‌ آن‌گاه داریم . بنابراین ، در نتیجه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله

جائیکه دارای هیچ جوابی نیست. پس این زیر مورد امکان‌ ندارد.
زیر مورد 2-2. فرض کنید ، آن‌گاه . اگر ، آن‌گاه با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آید. اگر ، آن‌گاه با توجه به اینکه می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین خواهیم داشت:

جائیکه . از رابطه نتیجه می‌شود که . اکنون به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست.