معادله و محاسبه

زیر مورد 2-3. فرض کنید ، آن‌گاه . اگر با توجه به اینکه , یک تناقض بدست می‌آید.
اگر ‌ آن‌گاه می‌توان محاسبه کرد که 12 یا . اگر معادله

دارای دو جواب به صورت زیر است
و
در هر دو جواب ، چون پس برای . از طرف دیگر داریم برای . با استفاده از یک محاسبه کامپیوتری ساده، ، که یک تناقض است. اگر ، آن‌گاه معادله قبلی دارای چهارده جواب است که در همه جوابها . مشابه بحث بالا می‌توان یک تناقض بدست آورد. اگر آن‌گاه m برابر 9 یا 10 می باشد. به سادگی می‌توان بررسی کرد که معادلات حاصل جواب ندارند.
زیر مورد 2-4. اگر . واضح است که جائیکه . اگر باشد آن‌گاه و . با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آید. اگر ‌ آن‌گاه بنا به قضیه (1-2-3) که یک تناقض است.
مورد 3. فرض کنید . بنا به قسمت‌های قبلی داریم و . ادعا می‌کنیم که G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، آن‌گاه از قضیه (1-2-2) داریم که تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر و . در نتیجه G دارای یک سری نرمال به صورت زیر است:

به طوری که یک گروه است که ، بنا به قضیه (1-3-8) یک تناقض بدست می‌آوریم.
با توجه به موارد بالا نتیجه می‌شود که . از قسمت‌های قبلی داشتیم و . به آسانی می‌توان نشان داد که گروه G دارای عضوی از مرتبه 22، 33 و 55 نیست. از اینکه آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 11 به طور نیمه منظم عمل می‌کند آن‌گاه . در نتیجه . همچنین از اینکه آن‌گاه که نتیجه می‌شود . چون می‌توان نتیجه شود که مرتبه گروه G برابر یا می‌باشد. نشان می‌دهیم که مرتبه G نمی‌تواند باشد. فرض کنید . چون G غیرحلپذیر و برای آن‌گاه G دارای یک سری نرمال به صورت زیر است.

به طوری که N زیر گروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G و یک زیرگروه نرمال مینیمال غیرحلپذیر است. از اینکه نتیجه می‌شود که یک گروه ساده غیرآبلی یا گروه ساده غیرآبلی است. فرض کنید یک گروه ساده باشد، آن‌گاه از قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که ایزومورف با یکی از گروههای ، یا است. فرض کنید ، اگر آن‌گاه و که t یک عدد صحیح مثبت است و 5 عدد t را عاد نمی کند. از اینکه ، نتیجه می‌شود آن‌گاه . بنابراین . با توجه به اینکه داریم برابر با 1، 12 یا 144 است، بنابراین برابر 10، 120 یا 1440 است. که یک تناقض است.
اگر آن گاه با فرض اینکه ، داریم و جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و 5 عدد t را عاد نمی کند. چون ، آن‌گاه، که نتیجه می‌دهد . بنابراین . حالا چون آن‌گاه برابر 1 یا 12 است. بنابراین برابر 10 یا 120، که یک تناقض است. همچنین اگر آن‌گاه که یک تناقض است. حالا را یک گروه در نظر می‌گیریم از قضیه (1-3-9) نتیجه می‌شود ایزومورف با یکی از گروههای ، ، یا خواهد بود. فرض کنید . اگر آن‌گاه و جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و 11 عدد t را عاد نمی کند. داریم بنابراین ، آن‌گاه . بنابراین ، از اینکه و ، آن‌گاه . اگر آن‌گاه و . می دانیم گروه روی N با تزویج عمل می کند در نتیجه یک همر یختی از به Aut(N) وجود دارد که هسته این همریختی برابر می باشد. اکنون با استفاده قضیه اساسی همریختی گروهها ایزومورف با یک زیر گروهی از Aut(N) می باشد بنابراین که یک تناقض است. اگر آن‌گاه ، بنابراین مرتبه برابر 1 یا 2 خواهد بود. اگر یک تناقض است و اگر آنگاه یک عضو از مرتبه 2 در وجود دارد که از آنجا می‌توان نتیجه گرفت گروه G دارای عضوی از مرتبه 22 است، که یک تناقض است. به طریق مشابه اگر می‌توان یک تناقض بدست آورد. اگر آن‌گاه که یک تناقض است. در نتیجه حالا قرار دهید و خواهیم داشت:

مطلب مرتبط :   منابع مقاله با موضوع موفقیت تحصیلی

اگر فرض کنیم آن‌گاه بنابراین . آن‌گاه ایزومورف با یا خواهد بود. اگر ، آن‌گاه و در نتیجه با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آید. اگر ، آن‌گاه .
با توجه به اینکه و N زیر گروه ماکسیمال حلپذیر است، نتیجه می‌شود . شبیه آنچه که در قضیه (2-4-1) برای داشتیم می‌توان ثابت نمود که اگر آن‌گاه و یک تناقض حاصل می شود. پس مرتبه G نمی‌تواند برابر بنابراین . چون گروههای ساده ماتیو با nse و مرتبه تشخیص پذیرند بنابراین داریم .
قضیه 2-5-3 فرض کنید G یک گروه و

آن‌گاه .
برهان. داریم . چون آن‌گاه داریم و . اگر آ‌ن‌گاه ، و . همچنین به آسانی می‌توان بررسی کرد که گروه G عضوی از مرتبه 49، 121، 125، 243 و ندارد. فرض کنید از آنجا که آن‌گاه برابر 5 یا 25 است. اگر آن‌گاه داریم و ، در نتیجه . اگر آن‌گاه با توجه به اینکه نتیجه می‌شود و برابر است با یا که در این صورت داریم یا . بنابراین در هر صورت . از طرفی می‌دانیم آن‌گاه . بنابراین و . در نتیجه اگر آن‌گاه . به طریق مشابه می‌توان نشان داد که اگر آن‌گاه . و همچنین اگر آن‌گاه با توجه به این بحث نشان می‌دهیم که نمی‌تواند و باشد، در نتیجه باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم.
مورد 1. فرض کنید . با توجه به اینکه ، آن‌گاه . بنابراین: