معادله و محاسبه

جائیکه . به آسانی می‌توان نشان داد که این معادله دارای جواب نیست، پس این مورد غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید . چون آن‌گاه برابر 3، 9، 27 یا 81 است. حالا زیر موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
زیر مورد 2-1. فرض کنید آن‌گاه ، در نتیجه . اگر آن‌گاه چون یک تناقض است. اگر ، آن‌گاه داریم:

از اینکه آن‌گاه . بنابراین ، آن‌گاه . از معادله بالا داریم ، آن‌گاه . حال اگر m را برابر 16 یا 17 بگیریم به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادلات حاصل جوابی ندارد.
زیر مورد 2-2. فرض کنید . داریم چون ، آن‌گاه و اگر ، آن‌گاه . از اینکه یک تناقض بدست می‌آید. اگر ، آن‌گاه با توجه به اینکه داریم:

در نتیجه . اکنون می‌توان نوشت ، بنابراین . اگر آن‌گاه معادله زیر حاصل می‌شود:

جائیکه . به آسانی می‌توان بررسی کرد که این معادله دارای جواب نیست. اما اگر . آن‌گاه معادله زیر را خواهیم داشت:
جائیکه . این معادله دارای جواب می‌باشد. می‌دانیم بنابراین یکی از اعداد 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128، 256 یا 512 است. اگر جائیکه آن‌گاه ، در واقع
جائیکه . چون و آن‌گاه برای بنابراین . چون و آن‌گاه و . همچنین از اینکه آن‌گاه نتیجه می‌شود که ، و . با استفاده از یک محاسبه کامپیوتری ساده، نتیجه می‌شود که یک تناقض است.
زیرمورد 2-3. فرض کنید . می‌دانیم . اگر آن‌گاه . با توجه به اینکه و یک تناقض بدست می‌آید. اگر آن‌گاه ، در نتیجه . بنابراین از اینکه آن‌گاه . فرض کنید آن‌گاه داریم:

چون ، نتیجه می‌شود که ، آن‌گاه . از معادله بالا داریم ، آن‌گاه . اگر آن‌گاه به راحتی می‌توان بررسی کرد که معادله جواب ندارد. اگر ، آن‌گاه معادله دارای جواب می‌باشد. شبیه زیر مورد 2-2 می‌توان نشان داد که این جواب به یک تناقض منجر می‌شود و اگر ، آن‌گاه باز هم معادله دارای جواب است، ولی می‌توان با روشی مشابه زیر مورد 2-2 برای هر جواب یک تناقض بدست آورد.
زیرمورد 2-4. فرض کنید . می‌دانیم ، جائیکه . اگر آن‌گاه از اینکه و یک تناقض حاصل می‌شود و اگر آنگاه که یک تناقض است. اکنون داریم . چون به آسانی می‌توان ثابت کرد . چون آن‌گاه که نتیجه می‌دهد . چون آن‌گاه در نتیجه . همچنین از اینکه داریم ، آن‌گاه . می‌توان نشان داد که آن‌گاه در نتیجه . چون نتیجه می‌شود یعنی . چون یک گروه ساده ماتیو است با استفاده از [29] داریم .
قضیه 2-5-4 فرض کنید G یک گروه و

مطلب مرتبط :   پایان نامه درمورد آلودگی محیط زیست و انرژی خورشیدی

آن‌گاه .
برهان. داریم . چون از آن نتیجه می‌شود و . اگر آن‌گاه ، ، و . همچنین می‌توان از (*) بررسی کرد که گروه G عضوی از مرتبه 25، 81، 121، 343، 529 و ندارد. اگر با توجه به اینکه آن‌گاه . بنابراین و ، در نتیجه . اگر با توجه به اینکه ، آن‌گاه . بنابراین و . در نتیجه و از آنجا که داریم . اگر ، از اینکه نتیجه می شود بنابراین و . و از آنجا نتیجه می شود . با توجه به این بحث می‌توان فرض کرد نشان می‌دهیم که نمی‌تواند ، ، و باشد و از آنجا باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید ، آن‌گاه . با توجه به اینکه دارای یازده عضو است این غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید . چون آن‌گاه برابر 3، 9 یا 27 خواهد بود. زیر موارد زیر را در نظر می‌گیریم: