زیر مورد 2-1. اگر ، آن‌گاه . فرض کنید . آن‌گاه از اینکه یک تناقض بدست می‌آوریم. حال فرض کنید می‌دانیم آن‌گاه نتیجه می‌شود بنابراین خواهیم داشت:

جائیکه . بنابراین داریم ، که نتیجه می‌دهد . به آسانی می‌توان بررسی کرد که اگر یا معادله بالا دارای هیچ جوابی نمی‌باشد. همچنین اگر فرض کنیم ، آن‌گاه مثل بالا می‌توان نشان داد که معادله حاصل دارای هیچ جوابی نیست.
زیرمورد 2-2. اگر از اینکه و نتیجه می‌شود . بنابراین از با توجه به اینکه می‌توان یک تناقض بدست آورد.
زیر مورد 2-3. اگر . می‌دانیم ، جائیکه . اگر آن‌گاه ، با توجه می‌توان یک تناقض بدست آورد. اگر آن‌گاه ، که یک تناقض است.
مورد 3. فرض کنید . چون ، آن‌گاه برابر 7 یا 49 است. اگر آن‌گاه و و با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آوریم. اگر آن‌گاه . اگر یک تناقض بدست می‌آید و اگر آن‌گاه که یک تناقض است.
مورد 4. فرض کنید . شبیه مورد 3 می‌توان یک تناقض بدست آورد.
در نتیجه . مثل قضیه قبلی براحتی می‌توان ثابت کرد . چون یک گروه ساده ماتیو است با استفاده از [29] داریم .
قضیه 2-5-5 فرض کنید G یک گروه و
آن‌گاه .
برهان. داریم . اگر آن‌گاه ، ، ، . همچنین از (*) می‌توان نتیجه گرفت که گروه G عضوی از مرتبه 25، 49، 121، 529 و 223 ندارد. اگر آن‌گاه می توان نتیجه گرفت که ، ، و . بنابراین اگر یکی از اعداد 5 و 7و 11و 23 در باشد آن‌گاه بقیه نیز در قرار دارند. در ادامه نشان می‌دهیم که نمی‌تواند و باشد، در نتیجه . موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید ، آن‌گاه . با توجه به اینکه دارای پانزده عضو است این غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید . چون آن‌گاه برابر 3، 9، 27 و 81 می‌باشد. حالا زیر موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
زیر مورد 2-1. فرض کنید ،‌ آن‌گاه . اگر آن‌گاه ، با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آید، چون آن‌گاه . بنابراین داریم:

مطلب مرتبط :   پایان نامه ارشد رایگان درباره عوامل مؤثر بر افزایش بهره وری نیروی انسانی و عوامل مؤثر بر افزایش بهره وری

جائیکه . از معادله بالا داریم که نتیجه می‌دهد با استفاده از یک برنامه کامپیوتری شبیه ضمیمه می‌توان بررسی کرد که این معادله برای دارای هیچ جوابی نمی‌باشد. اگر ، آن‌گاه به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله حاصل جواب ندارد. بنابراین، این زیرمورد غیر ممکن است.
زیرمورد 2-2. فرض کنید ، آن‌گاه . به سادگی می‌توان بررسی کرد که اگر ، جائیکه یک تناقض بدست می‌آید.
زیر مورد 2-3. فرض کنید ، آن‌گاه مثل مورد قبلی می‌توان یک تناقض بدست آورد.
زیر مورد 2-4. فرض کنید ، آن‌گاه خواهیم داشت ، جائیکه . اگر آن‌گاه که یک تناقض است. اگر آن‌گاه که باز هم یک تناقض است.
بنابراین . مثل قضیه‌های قبلی می‌توان نشان داد که آن‌گاه با توجه به اینکه یک گروه ساده ماتیو است با استفاده از [29] داریم .
نتایج حاصل از این بخش را در مقاله ای ‌یکی تحت عنوان:
A Charaterization of Matheiu groups by NSE
تدوین و برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است [15].