که از اینجا می توان نوشت
توزیع مکان ذره در تله در حین نوسانات ناشی از حرکت برآونی با آمار بولتزمن پیدا می شود که یک توزیع گوسی است و نتیجه می دهد.
(2-18)
و چون میانگین حرکت براوونی ذره برابر صفر است بنابر این محاسبات حرکتی ذرات هم می تواند در محاسبات بسیار ساده باشد.
شکل 2-4:در این شکل نیروی وارد بر ذرات بر حسب قدرت لیزری و به تله انداختن انها بر حسب قدرت خروجی لیزر رسم شده است .همانطوری که دیده می شود به تله انداختن ذرات با قدرت خروجی لیزر ارتباط مستقیم دارد.
2-5 تصویر برداری و آشکار سازی نانوذرات
تصویر برداری مستقیم از نانوذرات با دو چالش روبرو است: آنها کوچکتر از حد پراش هستند و در تعدادی موارد (نانوذرات دی الکتریک) تنها یک اختلاف ضریب شکست نسبی کوچک بین نانوذرات و محیط میزبان وجود دارد. به هر حال، سازوکارهایی برای دیده شدن نانوذرات وجود دارد که به طور مکرر با تکنیک های آشکار سازی غیر مستقیم دقیق کامل می شوند. قصد داریم روش های انتخاب شده ای را نشان دهیم که تکنیک های اندازه گیری غیر مستقیم با توصیف مفید و پی در پی را اثبات کرده اند.
نانوذرات فلزی یک ضریب شکست بزرگ دارند و از اینرو تصویر براداری از آنها نسبت به ذرات دی الکتریک هم اندازه آسانتر می باشد
2-6 نیروهای نوری بر روی نانوذرات
در این بخش چگونگی ایجاد نیروهای نوری را باز نگری می کنیم. ابتدا حالتی را که ذرات خیلی کوچکتر از طول موج تله اندازی باشد را در نظر می گیریم. که در آن می توان از تقریب رایلی استفاده کرد. سپس مورد ذرات بزرگتر را که تئوری پراکندگی الکترومغناطیسی کامل به کار می گیرد را بررسی می کنیم. نهایتاً نیروهای پلاسمون افزایش یافته و مقید نوری مربوط به تله اندازی نوری و دست کاری نانوساختارها را بررسی می کنیم.
2-7 نیروها در تقریب دو قطبی
پاسخ نوری یک نانو ساختار می تواند اغلب به عنوان یک دو قطبی یا مجموعه ای از دو قطبی ها مدل بندی شود. قطبش پذیری دو قطبیدگی شدت برهمکنش با یک میدان نوری را تعیین می کند. برای یک کره با شعاع a و گذردهی نسبی ، این می تواند بصورت زیر نوشته شود.
(2-19)
آنجا قطبش پذیری ذره نقطه مانند می باشد که بوسیله رابطه کلاسیوس-موساتی داده می شود، و k بردار موج میدان می باشد و گذردهی دی الکتریک خلا می باشد. مخرج در معادله 2-19 به عنوان یک تصحیح به معادله کلاسیوس- موساتی برای احتساب واکنش دو قطبی اندازه محدود با میدان پراکنده شونده در مکانش، عمل می کند. نیروی میانگین زمانی اعمالی بر روی چنین دو قطبی برابر است با:
(2-20)
که در آن مولفه های میدان الکتریکی می باشند. معادله (2-20)می تواند در شکل خیلی صریح بیان شود:
(2-21)
که در آن سطح مقطع خاموشی می باشد. کهE میدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، c سرعت نور در خلاء و فرکانس زاویه ای میدان نوری می باشد. عبارت اول در معادله( 2-21) نیروی ناشی از گرادیان شدت میدان الکتریکی می باشد که محصور سازی سه بعدی را در انبرک های نوری را اجازه می دهد تا زمانی که آن بر عبارت دوم و سوم مسلط باشد. عبارت دوم مسئول فشار تابشی، متناطر با نیرو در جهت انتشار، می باشد. عبارت سوم یک نیروی برخاسته از حضور گرادیان قطبشی فضایی می باشد.
2-8 نیروهای خارج از تقریب دو قطبی
زمانی یک ذره نمی تواند به عنوان یک دو قطبی تقریب زده شود، برای مثالCNT ، نانوسیم، گرافن، مواد پولکی دو بعدی، نیروی تابشی میانگین شده زمانی بر روی مرکز جرم ناشی از میدان الکترومغناطیسی در اندازه برابر و مخالف جهت با آهنگ تغییر تکانه خود میدان الکترومغناطیسی می باشد. بنابراین می تواند بوسیله انتگرال گیری شار تکانه نوری بر روی یک سطح جهت دار بسته S احاطه کننده شئ محاسبه گردد.
(2-22)