(1-27)
که در آن جمع های بی نهایت در قطع می شود. با فرض آن که ضرایب و عناصر بردار ستونی هستند و و به وسیله نمایش داده شوند، می توان نوشت:
(1-28)
که در آن ماتریس گذار است که اغلب برای سادگی ماتریس نامیده می شود. برای مورد ذره های کروی این ماتریس قطری است و کاملا به وسیله ضرایب می تعیین می شود. در حالی که ماتریس برای ذرات با شکل دلخواه خیلی پیچیده است. به هر حال هنوز آن فقط به خصوصیات ذره بستگی دارد و مستقل از میدان نور می باشد. این خاصیت ویژه برای محاسبات عددی برای انبرک های نوری مهم است. وقتی که نیروها وگشتاورهای تله اندازی در موقعیت های مختلف در میدان نور مورد توجه هستند یا زمانی که میدان های نور متفاوت در نظر گرفته می شوند در این موارد لازم است تا ماتریس یک بار برای ذره داده شده محاسبه شود و می تواند برای محاسبات بعدی استفاده گردد.
شکل 1-10 چند مثال از شبیه سازی عددی برای روزنه های عددی متفاوت عدسی های کانون کننده را نشان می دهد. کدهای عددی استفاده شده برای این شبیه سازی بر روی جعبه ابزار محاسباتی متلب موجود می باشد و قابل دسترس برای عموم است ]36[ و برای محاسبه نمودارهای شدت دو بعدی و میدان نیروی سه بعدی کامل گسترش یافته است. در شکل 1-10(الف) این می تواند دیده شود که یک باریکه گاوسی که به وسیله عدسی هایی با روزنه عددی متمرکز می شوند یک چاه پتانسیل پایدار برای ذره ایجاد نمیکنند. افزایش روزنه عددی تا 1-10(ب) یک حالت تعادلی برای ذره شبیه سازی شده با قطر یک طول موج و یک ضریب شکست نسبی را نتیجه می دهد. به هر حال، این پتانسیل کمینه نسبتا کم عمق می باشد و تنها حتی کانونی کردن شدید می تواند یک چاه پتانسیل عمیق کافی برای تله اندازی ذره در حضور حرکت براونی ایجاد کند1-10(ج). برای همه موارد آن می تواند دیده شود که پتانسیل تله انداز در جهت انتشار پرتو ضعیف ترین است. چون نیروی پراکندگی همواره یک مولفه در آن جهت دارد که فقط می تواند به وسیله نیروی گرادیان در جهت خنثی شود.

مطلب مرتبط :   استعلام آنلاین برند و طرح صنعتی

شکل1-10: دورنمای پتانسیل اپتیکی برای ذره ذره کروی بدلیل یک باریکه گائوسی متمرکز شده منتشره در راستایZ +.روزنه های عددی متفاوت برای عدسی کانونی کننده در( الف-ج) در نظرگرفته شده است. در ستون سمت چپ توزیع شدت عرضی و طولی میدان. ناحیه حدود طول موج. ستون وسطی نیروهای موضعی اعمالی به ذره رانشان می دهد(ماتریس پیکان). مقادیر مطلق در مقادیر پشت ماتریس پیکان کدگذاری شده است، نواحی کم نیرو(آبی)و نواحی پر نیرو(قرمز). در ستون راست، میدان نیروی یکسان برروی توزیع شدت نشان داده می شود، شیفت بین موقعیت نیرو و موقعیت تعادلی ذره را نشان می دهد. همه محورها در واحد طول موج برچسب گذاری می شوند.ذره فرض می شود که قطر یک طول موج و ضریب شکست دارد و و سیال احاطه کننده ضریب شکست دارد.
1-13 تقریب پاراکسیال:
یک طرز عمل سخت از انبرک های نوری در تئوری الکترومغناطیس، به طور آشکار سازوگار مطلوب برای گرفتن یک توصیف کمی از نیروهای موضعی عمل کننده روی ذرات اختیاری می باشد. در ادامه، خواهیم دید حتی زمانی که باریکه ها پاراکسیال فرض شوند یک تخمین کافی از کیفیت چشم انداز پتانسیل اپتیکی می تواند به دست آید (فرضی که به طور واضح نیاز به بحث دقیق در حوزه باریکه های لیزر شدیدا متمرکز شده می باشند).
یک سنجش مفید برای بررسی اعتبار تقریب پاراکسیال، نسبت طول موج و پهنای باریکه می باشد ]32[.
(1-29)
که باید برای باریکه های پاراکسیال کوچک باشد. کانونی کردن فشرده، پهنای باریکه را نازک می کند و بنابراین خطاهای ایجاد شده به وسیله تقریب پاراکسیال را افزایش می دهد. برای گرفتن اثرات کمی اشتباهات، یک باریکه گاوسی اولیه را در نظر می گیریم که به واسطه عدسی شیءی میکروسکوپی با روزنه عددی متمرکز شده است. با تعریف روزنه عددی و پهنای باریکه و مقدار نوعی ضریب شکست روغن غوطه ور ، پارامتر s می تواند به صورت محاسبه شود. برای این حوزه یک انحراف میانگین از میدان های الکتریکی حدوداَ 20% از سازوکار دقیق، می تواند انتظار رود. اگر چه این خطا بزرگ است، و خطای بیشینه می تواند حتی در مکان های خاص در نزدیکی کانون مهم باشد، آن می تواند انتظار رود که ساختار کیفی میدان به صورت کافی توصیف شده است. برای افزایش دقت، ترم های مرتبه بالاتر می توانند شامل شوند. برای مقدار یکسان تقریب مرتبه پنجم تنها یک اشتباه میانگین تقریبا 3% نتیجه می دهد.
1-14 نیروهای اضافی در انبرک های نوری:
نیروی گرادیان اساس عملکرد همه انبرک های نوری است و یک نیروی بازگرداننده ای ارائه می دهد که تابع خطی از جابه جایی x است و در فاصله چند صد نانومتر دامنه دارد. معادله حرکت مربوط به رفتار یک شی به دام افتاده با جرم m در یک محیط که یک میرایی گرانروی ( در زیر ببینید ) می دهد، یک تعادل بین نیروهای لختی، گرانروی و الاستیک است:
(1-30)
که ثابت الاستیک یا سختی تله نوری است. در غیاب هر میرایی ( یعنی در هوا یا در خلا ) نتیجه، یک نوسانگر با فرکانس تشدید خواهد بود که وسیله رابطه زیر داده می شود:
(1-31)
در کاربردهای زیستی نوعی، سختی انبرک های نوری حدود 0.05 pN است و اشیا دام افتاده حدود 1 ضخامت دارند ( متناظر یک جرم ). از این رو فرکانس تشدید تقریبا 50 است. به هر حال به خاطر این که آزمایش های زیستی باید در یک محیط آبی انجام شود، نیروی میرایی قابل توجهی ناشی می شود. برای ذرات با اندازه میکرون با شعاع r ( یک سیال حرکت کننده با ویسکوزیته ) ثابت کشش استوکس با رابطه زیر داده می شود:
(1-32)
برای یک کره با قطر 1 در آب است . ترکیب میرایی ویسکوزیته و سختی فنر مانند انبرک های نوری با یک فیلتر کم عبور قطب منفرد با -3dB بالا می رود که در آن فرکانس با رابطه زیر داده می شود:
(1-33)