یا یک چاه پتانسیل گرد شده است.
شکل (2-5): ترازهای انرژی نوکلئون ها (الف) در یک چاه پتانسیل مربعی نامتناهی (R = 8F). (ب) در یک پتانسیل نوسانگر هماهنگ. نماد گذاری طیفی ( l و n) و عدد اشغال تا هر تراز معین داده شده است. عدد نوسانگر υ، معادله( 2-17) نیز نشان داده شده است.
ترازهای انرژی حاصل از پتانسیل های (2-14) و ( 2-15) به ترتیب در شکل های ( 2-5 الف و ب ) نشان داده شده است. نماد گذاری طیفی، در طرف چپ درج شده است. درست شبیه به مورد یک جعبه مکعبی بسته، و به همین دلیل، انرژی پایین ترین حالت، متناظر با انرژی جنبشی صفر نیست. برای ترازهای یک چاه مربعی نامتناهی عبارت ریاضی ساده ای وجود ندارد ولی برای پتانسیل نوسانگر هماهنگ وجود دارد:
E = ħ (2-17)
که در آن سه عدد کوانتومی صحیح و مثبت اند که ممکن است دارای مقدار صفر نیز باشند. ترازهای انرژی متساوی الفاصله هستند. همان طور که در شکل (2-5 ب) نشان داده شده است، چندین تراز تبهگن به چشم می خورد، یعنی به ازای بیش از یک مجموعه اعداد کوانتومی یک انرژی به دست می آید. عدد υ را عدد کوانتومی نوسانگر می نامند.
طبق اصل طرد پائولی هر حالت می تواند با نوکلئون های یکسان طوری پر شود که هیچ 2 نوکلئونی دارای مجموعه اعداد کوانتومی n و l و m و همانند نباشند. در اینجا ms برابر یا است که یک عدد کوانتومی است که جهت اسپین ذاتی نوکلئون را مشخص می‌کند. در هر زیر تراز مغناطیسی ممکن است 2 نوکلئون با اسپین های یا قرار بگیرند. پس ماکزیمم عدد اشغال شده در حالت کلی برابر است. شکل (2-5) عدد اشغال کل را تا هر تراز خاصی برای دو پتانسیل نشان داده شده به دست می دهد. بنابراین انتظار می رود که هرگاه یک حالت (n,l) کاملا پر باشد، هسته پایداری مخصوصا زیادی داشته باشد، زیرا تعداد نوکلئون ها زوج است و از این رو ماکزیمم انرژی زوجیت وارد عمل می شود. همچنین اگر فاصله تا حالت انرژی (پر نشده) بعدی زیاد باشد، انرژی زیادتری برای برانگیختن هسته لازم است تا موردی که فاصله کم باشد. بنابراین آثار اعداد جادویی باید در شکافهای لایه ای اصلی رخ دهد.
اگرچه اعداد جادویی 2، 8 و 20 به سهولت به دست می آیند ولی سایر اعداد 28 ، 50 ، 82 و 126 دیده نمی شوند. این برای تمام پتانسیل های مرکزی صادق است، یعنی حتی اگر پتانسیل واقع بینانه تر (2-16) یا چاه پتانسیل گرد شده را به کار بریم، این مشکل حل نمی شود. چون تمام مدل های لایه ای اولیه از این نوع پتانسیل ها استفاده می کردند، نمی توانستند تمام اعداد جادویی را به دست دهند، پس زیاد مفید نبودند [11].
2-4-2- مدل جفت شدگی اسپین _ مدار
گام اساسی برای درک علت اعداد جادویی توسط مایر، هاکسل، جنسن و سوئس در سال 1949 برداشته شد که پیشنهاد کردند باید یک قسمت اسپین مدار نیز وجود داشته باشد. یعنی آنها پیشنهاد کردند که یک بر همکنش قوی باید بین تکانه زاویه ای مداری و تکانه زاویه ای اسپین ذاتی هر نوکلئون موجود باشد. طبق قواعد مکانیک کوانتومی جفت شدگی برای تکانه های زاویه ای، و تکانه زاویه ای کل jħ که از جمع برداری تکانه زاویه ای مداری lħ و اسپین ذاتی sħ به دست می آید باید به گونه ای باشد که j به مقادیر زیر محدود شود:
j= l + یا j = l –
اگر یک بر همکنش قوی اسپین مدار وجود داشته باشد انرژی متفاوتی با هر کدام از این دو j همراه است که باعث شکافتگی اسپین – مدار ترازها می شود.
بنابراین برای مقادیر یکسان l، انرژی حالت j =l + می تواند کاملا متفاوت با انرژی حالت j = l – باشد.
مدل پوسته یا مدل جفت شدن اسپین – مدار یا مدل جفت شدن j j شامل فرض های ذکر شده در ذیل به علاوه ی فرض های موجود در هر مدل ذره مستقل می باشد [11و21].
1- برای مقادیر یکسان اندازه حرکت زاویه‌ای مداری l، حالت j = l+ مقیدتر از j = l- است.
2- انرژی جداسازی بین و با افزایش مقدارl که متناسب با () است ، افزایش می یابد.
3- نوکلئون های یکسان با عدد زوج l و j برابر، برای ایجاد پاریته زوج، اندازه حرکت زاویه ای کل صفر و گشتاور مغناطیسی صفر با یکدیگر جفت می شوند.
4- نوکلئون های یکسان با عدد فرد l و j برابر، با یگدیگر جفت می شوند. اگر l فرد باشد حالت پاریته فرد را ایجاد می کنند و اگر l زوج باشد منجر به حالت پاریته زوج می شود. اندازه حرکت زاویه ای کل و گشتاور مغناطیسی معادل با یک نوکلئون در حالت j می باشند.
5- یک انرژی بستگی اضافی یا انرژی جفت شدگی ، مربوط به اشغال دوگانه هر حالت l وj توسط دو نوکلئون یکسان، وجود دارد. انرژی جفت شدن برای بزرگترین j در هر هسته، بیشترین مقدار را دارد. این انرژی بستگی اضافی برای نوکلئون زوج در مقایسه با نوکلئون فرد تقریبا متناسب با می باشد [22].
در نمادگذاری طیفی مقدار j را به صورت یک شاخص پایین در نماد ( lو n) می نویسند. به طور تجربی معلوم شده است که در هسته ها تراز انرژی با مقدار بزرگتر j همیشه زیر تراز با مقدار کوچکتر j قرار می گیرد.
شکل ( 2-6 ) اثر شکافتگی اسپین – مدار را برای ترازهای انرژی یک چاه پتانسیل متناهی گرد شده نشان می دهد.
ماکزیمم عدد اشغال شده برای هر تراز مساوی است.