نتیجه و نتایج

به طوری که یک گروه ساده غیرآبلی یا یک حاصلضرب مستقیم از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم هستند. چون G، گروه است آن‌گاه یک گروه ساده یا یک حاصلضرب مستقیم از گروه ساده ایزومورف با هم می‌باشند. از قضیه (1-2-2) داریم برای هر ، در نتیجه از قضیه (1-3-8) . شبیه قضیه قبلی می‌توان نشان داد که زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که و . اگر ‌آن‌گاه، نشان می‌دهیم . فرض کنید ، چون و N زیر گروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است آن‌گاه نتیجه می‌شود K زیرگروه نرمال غیرحلپذیر G است. از طرف دیگر چون برای هر ، آن‌گاه از قضیه (1-2-2) داریم برای هر که نتیجه می شود K زیرگروه پوچتوان G است که یک تناقض است. بنابراین و آن‌گاه . حالا نشان می‌دهیم . فرض کنید Q یک سیلو –q زیر گروه از N باشد. چون N پوچتوان است آن‌گاه Q در G نرمال است. به آسانی می‌توان دید که اگر آن‌گاه Q در نرمالساز P قرار دارد. بنابراین اگر آن‌گاه P و Q در مرکزساز یکدیگر قرار می‌گیرند. فرض کنید آن‌گاه برای هر ، و بنابراین توانی از q خواهد بود. حالا فرض کنید ، آن‌گاه . همچنین اگر آن‌گاه غیربدیهی است و چون از آن نتیجه می‌شود که . چون q دلخواه بود پس . بنابراین . اگر ، شبیه آنچه که برای حالت در بالا ثابت شده می‌توان بکار برد و نتیجه گرفت که K پوچتوان، و بنابراین .
قضیه 3-2-3 فرض کنید G یک گروه متناهی با مرکز بدیهی و برای هر آن‌گاه .
برهان: ابتدا ثابت می‌کنیم G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، با توجه به اینکه ، آن‌گاه از قضیه (1-2-5) داریم که یک تناقض است. بنابراین G غیرحلپذیر است. چون G یک گروه غیرحلپذیر و متناهی است آن دارای یک سری نرمال به صورت زیر است:

به طوری که یک گروه ساده غیرآبلی یا حاصلضرب مستقیمی از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم می‌باشد. با توجه به اینکه G یک گروه است و برای آن‌گاه نتیجه می‌شود که یا . نشان می‌دهیم که اگر یک تناقض حاصل می‌شود. مثل قضیه (3-2-1) زیر گروه نرمال K وجود دارد به طوری که و . فرض کنید نشان می‌دهیم . فرض کنید چون و N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G است پس K غیرحلپذیر است. بنابراین K دارای یک سری نرمال به صورت زیر است:

به طوری که . از طرفی از اینکه از قضیه (1-2-2) داریم ، و . چون برای هر p داریم یک تناقض با بدست می‌آید. در نتیجه ، اکنون داریم . از اینکه N حلپذیر است و نتیجه می‌شود که عدد اولی مانند وجود دارد بطوری . بدون از دست دادن کلیت ادعا می‌کنیم که N یک –q گروه است. با توجه به اینکه زیر گروه مشخصه N می‌باشد، آن‌گاه زیرگروه نرمال G است. فرض کنید و واضح است که غیربدیهی و –q گروه است و ، بنابراین با این توضحیات می‌توان فرض کرد N یک –q گروه است. پس N پوچتوان است. شبیه آنچه که در قضیه (3-2-1) نشان دادیم، می‌توان دید جائیکه مرکز N است. بنابراین Z در مرکز G خواهد بود که یک تناقض است. حالا فرض می‌کنیم . مشابه آنچه که برای حالت گفتیم می‌توان نشان داد و N را می‌توان به عنوان یک –q گروه برای یک در نظر گرفت. بنابراین جائیکه N یک –q گروه است. مشابه قضیه (3-2-1) می‌توان نشان داد ، جائیکه . دو حالت اتفاق می‌افتد یا و یا . در حالت اول داریم بنابراین یک تناقض است. در حالت دوم واضح است که اگر که آن‌گاه ، در نتیجه Z یک 2- گروه است. بنابراین جائیکه . اکنون که یک تناقض است. در نتیجه نمی‌تواند با یکریخت باشد پس . می‌دانیم زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که و . بنابراین ایزومورف با یکی از گروههای ، ، ، یا است. با توجه به اینکه تعداد سیلو زیرگروههای G با هر یک از گروههای ، ، ، یا برابر است مثل قضیه (3-2-2) می‌توان ثابت کرد که G با هر یک از گروههای فوق یکریخت است در نتیجه .
قضیه 3-2-4 فرض کنید G یک گروه با مرکز بدیهی و برای هر آن‌گاه .
برهان. ابتدا نشان می‌دهیم G غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، با توجه به اینکه ‌ آن‌گاه از قضیه (1-2-5) داریم که یک تناقض است.
چون G متناهی و غیرحلپذیر است پس دارای یک سری نرمال به صورت زیر است:

مطلب مرتبط :   مقاله رایگان با موضوع مزایای رضایت مشتری و پیامدهای رفتاری

به طوری که N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G و یک گروه ساده غیرآبلی یا حاصلضرب مستقیمی از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم می‌باشد. فرض کنید ، جائیکه یک گروه ساده غیرآبلی و . با توجه به اینکه G یک گروه است، نتیجه می‌شود یک گروه ساده یا گروه ساده خواهد بود. از طرفی از قضیه (1-2-2) داریم برای هر ، . بنابراین یک گروه ساده و یا گروه ساده است. از قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که نمی‌تواند یک گروه ساده باشد. در نتیجه یک گروه ساده خواهد بود. با استفاده از قضیه (1-3-9) فرض کنید جائیکه r یک عدد اولی است که در تساوی با ، ، و یک عدد اول است صدق می‌کند، آن‌گاه از اینکه نتیجه می‌شود که . بنابراین می‌توان با یا یکریخت باشد. حال فرض کنید جائیکه و با ، u و t اعداد اول، ، و آن‌گاه که یک تناقض است. همچنین اگر فرض کنیم نیز می‌توان یک تناقض است بدست آورد. با این بحث نتیجه می‌شود که . مشابه آنچه که در قضیه (3-2-1) داشتیم زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که . اگر با توجه به اینکه برای هر به آسانی می‌توان ثابت نمود که . اگر آن‌گاه باید . چون و یک تناقض بدست می‌آید. پس ثابت کرده‌ایم که .
با توجه به اینکه اثبات تشخیص‌پذیری گروههای ، ، ، ، ، مشابه قضیه‌های قبل است، ما به عنوان نمونه تشخیص‌پذیری گروه ، را انجام داده و بقیه آنها بطور مشابه اثبات می‌شوند.
قضیه 3-2-5 فرض کنید G یک گروه با مرکز بدیهی و برای هر ‌ آن‌‌گاه .
برهان. به سادگی می‌توان نشان داد که G غیرحلپذیر است. چون G متناهی و غیرحلپذیر است پس دارای یک سری نرمال به صورت زیر است:

به طوری که N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G و یک گروه ساده غیرآبلی یا حاصلضرب مستقیمی از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم می‌باشد. فرض کنید ، جائیکه یک گروه ساده غیرآبلی . با توجه اینکه G یک گروه است، نتیجه می‌شود یک گروه ساده یا گروه ساده خواهد بود. از طرفی از قضیه (1-2-2) داریم برای هر ، . بنابراین یک گروه ساده و یا گروه ساده است. از قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که نمی‌تواند یک گروه ساده باشد، در نتیجه یک گروه ساده خواهد بود. با استفاده از قضیه (1-3-9) فرض کنید جائیکه r یک عدد اولی است که در تساوی با ، ، و یک عدد اول است صدق می‌کند، آن‌گاه از اینکه نتیجه می‌شود که ، که یک تناقض است. حال فرض کنید ، جائیکه و با ، u و t اعداد اول، ، و آن‌گاه که یک تناقض است. به همین صورت می‌توان دید که اگر یک تناقض است، بنابراین . مشابه آنچه که در قضیه (3-2-1) داشتیم زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که . در نتیجه ایزومورف با یکی از گروههای ، یا خواهد بود. اگر مثل قضیه (3-2-2) می‌توان ثابت کرد . اگر ، آن‌گاه با توجه اینکه باید داریم که یک تناقض است. و اگر آن‌گاه یعنی که تناقض است. بنابراین .
قضیه 3-2-6 فرض کنید G یک گروه با مرکز بدیهی، برای هر آن‌گاه .
برهان: به سادگی می‌توان دید که G غیرحلپذیر است. اکنون چون G متناهی و غیرحلپذیر است، پس دارای یک سری نرمال به صورت زیر خواهد بود:

مطلب مرتبط :   پایان نامه با کلید واژه هایفازی، سیستم، سیستمهای، لایه

به طوری که N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر G و یک گروه ساده غیرآبلی یا حاصلضرب مستقیمی از گروههای ساده غیرآبلی ایزومورف با هم می‌باشد. فرض کنید ، جائیکه یک گروه ساده غیرآبلی و . با توجه به اینکه G یک گروه است، نتیجه می‌شود یک گروه ساده یا گروه ساده خواهد بود. از طرفی از قضیه (1-2-8) برای هر داریم، .
بنابراین یک گروه ساده و یا گروه ساده است. از قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که نمی‌تواند یک گروه ساده باشد، در نتیجه یک گروه ساده خواهد بود. با استفاده از قضیه (1-3-9)، فرض کنید ، جائیکه r یک عدد اولی است که در تساوی با ، ، و یک عدد اول است صدق می‌کند، آن‌گاه از اینکه نتیجه می‌شود که که یک تناقض است. حال فرض کنید ، جائیکه و با ، u و t اعداد اول، ، و آن‌گاه که یک تناقض است. به همین صورت می‌توان دید که اگر یک تناقض است. بنابراین . مشابه آنچه که در قضیه (3-2-1) دیدیم زیرگروه نرمال K وجود دارد به طوری که ، در نتیجه ایزومورف با یکی از گروههای ، ، یا خواهد بود. اگر با هر کدام از این گروهها ایزومورف باشد با توجه به اینکه تعداد سیلو –p زیرگروههای G با این گروههای یکی است شبیه آنچه که در قضیه (3-2-2) داشتیم می‌توان به آسانی ثابت نمود که G با آنها یکریخت است. بنابراین گروه G یکریخت با یکی از گروههای ، ، یا خواهد بود.
نتایج حاصل از این فصل را در قالب دو مقاله تدوین کرده‌ایم. در مقاله اول روی گروههای برای کار شده که مقاله حاصل از آن تحت عنوان:
A new charaterization of some linear groups