چون G متناهی است آن‌گاه آن دارای یک سری اساسی است. فرض کنید سری اساسی G باشد. چون G غیرحلپذیر است بزرگترین عدد طبیعی i وجود دارد بطوری که یک گروه ساده و یا حاصلضرب مستقیم گروههای ساده ایزومورف با هم است و زیرگروه ماکسیمال حلپذیر G است و با توجه به اینکه برای نتیجه می‌شود که یک گروه ساده است. اکنون قرار می‌دهیم و بنابراین گروه G دارای سری نرمال زیر خواهد بود:

بطوری که یک گروه ساده غیرآبلی است. به عبارت دیگر N زیرگروه نرمال ماکسیمال حلپذیر گروه G و یک زیرگروه نرمال مینیمال غیرحلپذیر از می‌باشد. چون آن‌گاه یک گروه ساده غیرآبلی یا گروه ساده غیرآبلی خواهد بود. اگر گروه ساده غیرآبلی باشد آن‌گاه با استفاده قضیه (1-3-8) نتیجه می‌شود که با یکی از گروههای ، ، یا یکریخت است.
فرض کنید . اگر آن‌گاه و با استفاده از قضیه (1-3-4) داریم جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و 5 عدد t را عاد نمی کند. چون آن‌گاه و از آنجا . در نتیجه و بنا به قضیه (1-2-4) داریم . چون آن‌گاه 8 یا در نتیجه تعداد عناصر از مرتبه 7 در G برابر با 6 یا 48 خواهد بود که یک تناقض است. حال فرض کنید . اگر ، آن‌گاه و جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و 5 عدد t را عاد نمی کند. چون بنابراین آن‌گاه و از آنجا که یک تناقض حاصل می‌شود. فرض کنید . اگر آن‌گاه و جائیکه t یک عدد صحیح مثبت است و 7 عدد t را عاد نمی کند.
چون آن‌گاه و و از آنجا نتیجه می‌شود که . بنا به قضیه (1-2-4) داریم چون آن‌گاه یا 6 است. بنابراین تعداد عناصر 5 در G برابر 4 یا 24 خواهد بود که یک تناقض است. به طور مشابه اگر می‌توان یک تناقض بدست آورد. در نتیجه باید گروه ساده باشد. بنا به قضیه (1-3-9) و حال قرار دهید و ، خواهیم داشت:

مطلب مرتبط :   دانلود پایان نامه درباره نیروی انسانی و منابع فیزیکی

اگر فرض کنیم آن‌گاه بنابراین . در نتیجه یا . اگر آن‌گاه . داریم و N زیرگروه نرمال ماکسیمال G است. در نتیجه . اکنون ما می دانیم گروه G دارای یک زیرگروه نرمال از مر تبه 2 است که توسط یک عضو مرکزی مانند z تولید می شود. فرض کنید f همریختی طبیعی از Gبه باشد، آن گاه تصویر f شامل z و 115 عضو از مرتبه 2 در خواهد بود. از طرفی فرض کنید و عناصر از مرتبه 2 در یک کلاس تزویج در باشند، آن گاه وجود دارد بطوری که . بنابراین یا از آنجا که خواهیم داشت y برابر با یا است. این نتیجه می دهد که اگر x دارای مرتبه 2 باشد آن گاه y هم از مر تبه 2 می باشد و همچنین نتیجه می شود که تصاویر عناصراز مرتبه2 در اجتماعی از کلاسهای تزویج در می‌باشند. اما تنها یک کلاس تزویج از عناصر مرتبه 2 در وجود دارد که مر تبه آن 105 است. بنابراین چطور می توان تصویر از مرتبه 2 در را با استفاده از اجتماع چنین کلاسهای تزویجی بدست آورد، این یک تناقض است. در نتیجه آن گاه که نتیجه می‌شود .


نتایج حاصل از بخش را در مقاله‌ای تحت عنوان:
A new charaterization of symmetric group for some n
تدوین و برای داوری به یکی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است [17].
2-4 تشخیص‌پذیری گروههای خطی
در این بخش نشان می‌دهیم که گروههای خطی برای با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم‌مرتبه تشخیص‌پذیرند.
قضیه 2-4-1 فرض کنید G یک گروه و
آن‌گاه .
برهان. نشان می‌دهیم چون از آن نتیجه می‌شود که و . فرض کنید از (*) نتیجه می‌شود که . بنابراین و اگر آن‌گاه ، و . همچنین به آسانی می‌توان نشان داد که گروه G دارای عناصر از مرتبه 9، 25، 51، 85، 289 و 512 نمی‌باشد.
فرض کنید با توجه به اینکه نتیجه می‌شود و از آنجا . بنابراین . پس اگر آن‌گاه حال فرض کنید چون داریم و از آن‌جا و . بنابراین اگر آن‌گاه . همچنین اگر فرض کنیم با توجه به اینکه آن‌گاه و از آنجا که نتیجه می‌دهد . با این بحث می‌توان نتیجه گرفت که اگر آن‌گاه . اگر آن‌گاه . برای ادامه اثبات نشان می‌دهیم که نمی‌تواند برابر باشد در نتیجه برابر با است.
فرض کنید آن‌گاه داریم.

مطلب مرتبط :   نحوه انتخاب رشته در سال 98

جائیکه . واضح است که .
بنابراین مقدار m برابر 12 یا 13 خواهد بود. اگر آن‌گاه از معادله بالا داریم:

که به آسانی دیده می‌شود معادله جواب ندارد، پس که در این صورت خواهیم داشت :

با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن شبیه آنچه که ضمیمه رساله می باشد به آسانی می‌توان بررسی که تنها جواب معادله برابر است. بنابراین و . ثابت می‌کنیم یک چنین گروهی وجود ندارد. از (*) واضح است که و چون جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 256 در G است آن‌گاه گروه G دارای 15 زیرگروه دوری از مرتبه 256 خواهد بود.