نرم افزار و معادله

آن‌گاه .
برهان. برای اثبات حکم ابتدا نشان می‌دهیم که . چون از (*) نتیجه می‌شود که و . فرض کنید از (*) نتیجه می‌شود که . اگر آن‌گاه . از طرف دیگر از (*) نتیجه می‌شود که اگر آن‌گاه و که یک تناقض است. پس ، بنابراین روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نیمه منظم عمل می‌کندآن گاه که یک تناقض است. بنابراین و به طریق مشابه می‌توان نشان داد که 2689 و 5041 عضو نمی باشند.
در نتیجه . اگر ‌ آن‌گاه از (*) داریم ، و . همچنین به آسانی دیده می‌شود که گروه G عناصری از مرتبه 35، 81، 125، 343، 512 و 768 ندارد. اگر آنگاه ، اگر ‌ آن‌گاه و اگر آن‌گاه .
فرض کنید با توجه به اینکه نتیجه می‌شود که برابر5 یا 25 است. اگر آن‌گاه بنابراین و . در نتیجه . اگر آن‌گاه و از آنجا . فرض کنید پس دوری است آن‌گاه با استفاده از قضیه سیلو یک تناقض بدست می‌آوریم. حال فرض کنید بنا به قضیه (1-2-3) داریم که یک تناقض است. در نتیجه حالت اتفاق نمی‌افتد. اکنون فرض کنید ، با توجه به اینکه نتیجه می‌شود که برابر 7 یا 49 است. اگر آن‌گاه و در نتیجه . همچنین اگر آن‌گاه و با استفاده از قضیه سیلو یک تناقض بدست می‌آید. بنابراین نمی‌تواند 49 باشد. بنا به بحث بالا می‌توان نتیجه گرفت که اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . اکنون در ادامه کار نشان خواهیم داد که نمی‌تواند یا باشد در نتیجه باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید از اینکه داریم آنگاه داریم

جائیکه m و ، ، ، ، ، اعداد صحیح نامنفی‌اند و . با توجه به شرط و در نظر گرفتن مقادیر که می توان نشان داد که این معادله جواب ندارد. پس این مورد ممکن نیست.
مورد 2. فرض کنید . با توجه به اینکه ‌ آن‌گاه برابر 3، 9 یا 27 خواهد بود. اگر آن‌گاه پس . اگر آن‌گاه ، با توجه به اینکه یک تناقض است و اگر داریم:

مطلب مرتبط :   پایان نامه ارشد درباره اختلال نقص توجه و ملاحظات اخلاقی

جائیکه . با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن شبیه آنچه که ضمیمه رساله می باشد به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست در نتیجه . حال فرض کنید چون واضح است که . بنابراین که یک تناقض است. اگر آن‌گاه با توجه به اینکه نتیجه می‌شود که . اگر بنا به قضیه (1-2-3) که یک تناقض است و اگر آن‌گاه که باز هم یک تناقض است. در نتیجه این مورد هم ممکن نیست. بنابراین با توجه توضیحات قبلی . چون آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 به صورت نیمه منظم عمل می‌کند، در نتیجه و از آنجا به طور مشابه . حالا نشان می‌دهیم که . فرض کنید در این صورت جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 3 در است. چون آن‌گاه که یک تناقض است. پس و به طریق مشابه می‌توان نشان داد که . از اینکه نتیجه می‌شود که گروه به طور نیمه منظم روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 عمل می‌کند، بنابراین و از آنجا . همچنین از اینکه نتیجه می‌شود که و از آنجا . اکنون با توجه به اینکه ، ، ، و نتیجه می‌شود که . چون یک گروه ساده است از [27] داریم .
نتایج حاصل از این بخش در مقاله ای تحت عنوان:
A new Charaterization of ,
در سال 2011 در مجله
Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta
موفق به دریافت‌ پذیرش چاپ گردید [13].
2-3 تشخیص‌پذیری گروههای متقارن
در این بخش نشان می‌دهیم گروههای متقارن برای با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخیص‌پذیرند.
قضیه 2-3-1 فرض کنید G یک گروه و ‌ آن‌گاه .
برهان. برای اثبات حکم ابتدا نشان می‌دهیم که . چون از (*) نتیجه می‌شود که و . فرض کنید از (*) داریم بنابراین . اگر آن‌گاه . فرض کنید از (*) داریم و که یک تناقض است. در نتیجه . همچنین از (*) داریم که گروه G عناصری از مرتبه 8 و 9 ندارد.
با این بحث داریم . اکنون نشان می‌دهیم که نمی‌تواند باشد در نتیجه . فرض کنید آن‌گاه که نتیجه می دهد از (*) داریم که یک تناقض است. بنابراین امکان‌پذیر نیست. در نتیجه . با توجه به اینکه داریم جائیکه m و n و k اعداد صحیح نامنفی‌اند و . واضح است که تنها جواب این معادله برابر است با . در نتیجه و واضح است که .
قضیه 2-3-2 فرض کنید G یک گروه و آن‌گاه .
برهان. ابتدا نشان می‌دهیم که . چون نتیجه می‌شود که و . فرض کنید از (*) نتیجه می‌شود که p برابر 3 یا 7 است یعنی . اگر آن‌گاه نشان می‌دهیم که . فرض کنید از (*) داریم و که یک تناقض است. بنابراین . حالا نتیجه می شود گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 به طور نیمه منظم عمل می‌کند. بنابراین که یک تناقض است.
در نتیجه . اگر از (*) نتیجه می شود که همچنین از (*) نتیجه می‌شود که گروه G دارای هیچ عضوی از مرتبه 6، 9 و 32 نمی‌باشد و اگر4, 8 و 16 داخل باشند آن‌گاه ، و . حال نشان می‌دهیم که نمی‌تواند باشد که از آنجا می‌توان نتیجه گرفت که . فرض کنید آن‌گاه می‌توان نوشت: