جائیکه . به آسانی می‌توان نشان داد که این معادله دارای هیچ جوابی نیست. حال فرض کنید آن‌گاه داریم و برابر 4 یا 9 است، چون ، که با توجه به قضیه سیلو یک تناقض است. پس این مورد غیرممکن است.
مورد 3. فرض کنید . چون آن‌‌گاه برابر 3 و 9 یا 27 است. فرض کنید آن‌گاه با استفاده از لم (2-2-1) داریم . اگر آن‌گاه چون یک تناقض است. اگر آن‌گاه داریم:

جائیکه . بنابراین ، در نتیجه و معادله فوق را می‌توان به صورت زیر نوشت:

با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن که ضمیمه رساله می باشد به آسانی می‌توان بررسی کرد که تنها جواب معادله بالا برابر است با که از آنجا داریم . واضح است که برابر 16 یا 32 است. اگر ‌ آن‌گاه چون آن‌گاه گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 16 به طور نیمه منظم عمل می‌کند بنابراین از طرفی می دانیم که حال اگر یک تناقض است و اگر آن‌گاه ، چون یک تناقض است. اگر آن‌گاه چون 96, 48 و 24 در قرار ندارند آن‌گاه گروه به طور نیمه منظم روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 8، 16 و 32 عمل می‌کند بنابراین اعداد ، و را عاد می‌کند. اگر آن گاه بنا براین و مخالف 144 خواهند بود. از طرف دیگر داریم اعداد و را عاد می‌کند که یک تناقض بدست می‌آید.
اگر آن‌گاه بنابراین یا مخالف 144 می باشند. چون اعداد و را عاد می‌کند یک تناقض بدست می آید. اگر مخالف 144 یا 180 باشد، چون باز هم یک تناقض بدست می‌آید. پس . اکنون فرض کنید آن‌گاه داریم:

جائیکه . واضح است ، آن‌گاه m برابر 5 یا 6 است. اگر m برابر 5 باشد آن‌گاه معادله بالا به صورت زیر تبدیل می‌شود:

که تنها جواب این معادله برابر است با آن‌گاه . واضح است که برابر 8، 16 یا 32 است. اگر آن‌گاه . چون آن‌گاه با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آوریم. اگر ‌آن‌گاه چون آن‌گاه . با توجه به اینکه یک تناقض است. اگر آن‌گاه چون آن‌گاه . از طرفی این یک تناقض است. حال اگر شبیه آنچه که برای حالت بیان کردیم، می‌توان بکار برده و تناقض بدست آوریم. همچنین شبیه بحثی که برای بکار بردیم می‌توان برای بکار برده و نشان دهیم که این هم غیرممکن است. فرض کنید با استفاده از لم (2-2-1) چون آن‌گاه . بنابراین برابر 24 یا برابر 30 است که یک تناقض با قضیه سیلو دارد. اگر با توجه به اینکه از لم (2-2-1) نتیجه می‌شود که یا . اگر آن‌گاه برابر 8 یا برابر 10 است. اگر که یک تناقض است و اگر چون دوری است آن‌گاه که یک تناقض است. بنابراین که با استفاده از قضیه (1-2-3) داریم که یک تناقض است. بنابر آنچه که ثابت شد می‌توان نتیجه گرفت که ، از قسمت‌های قبل داریم که . فرض کنید ‌ آنگاه جائیکه k تعداد زیرگروههای روی از مرتبه 3 در اند. چون داریم که یک تناقض است پس . آن‌گاه در نتیجه . همچنین می‌توان ثابت کرد که پس آن‌گاه . در نتیجه داریم:

مطلب مرتبط :   پایان نامه با واژه های کلیدیسینا، اینکه، لذات، برترین

جائیکه و . به سادگی می توان دید که اگر و آنگاه مر تبه گروه G از 720 کمتر است که یک تناقض است. بنابراین معادله بالا زمانی دارای جواب می باشد که m برابر 4 و n برابر 2 باشد دراین صورت داریم . واضح است که تنها جواب این معادله برابر با می باشد. بنابراین برابر با یا یا یا است. اگر برابر یا باشد آن‌گاه و ، بنابراین برابر 24 یا برابر 30 می باشد که یک تناقض است. اگر آن‌گاه بنابراین چون یک تناقض است. در نتیجه چون مرتبه گروهG با مرتبه گروه برابرو با استفاده از [6] داریم .
قضیه 2-3-5 فرض کنید G یک گروه
و آن‌گاه .
برهان. نشان می‌دهیم که . چون از آن نتیجه می‌شود و . فرض کنید از (*) نتیجه می‌شود . مشابه آنچه که در قضیه‌های قبلی داشتیم نتیجه می‌شود که p نمی‌تواند 29، 421، 1471 باشد. بنابراین . اگر آنگاه ، و همچنین از (*) می‌توان به آسانی نتیجه گرفت که گروه G دارای عناصری از مرتبه 64، 81، 125 و 343 نیست. حال نشان می‌دهیم که . فرض کنید آن‌گاه از (*) داریم برابر 420 یا 720 می باشد، با استفاده از لم (2-2-1) داریم که نتیجه می‌شود عدد 1225 یا 920 را عاد می کند. بنابراین و برابر 21 یا 36 می باشد. با توجه به اینکه در یک گروه، دوری از مرتبه 25 فقط چهار عضو از مرتبه 5 وجود دارد بنابراین یا که در هر صورت یک تناقض است. در نتیجه . به روش مشابه آنچه که در بالا بیان شده می‌توان ثابت کرد . حال اگر آن‌گاه و و همچنین از لم (2-2-1) داریم و بنابراین و ، که از آن نتیجه می‌شود اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . با این توضیح در ادامه نشان می‌دهیم که نمی‌تواند و باشد در نتیجه باید برابر باشد حالا موارد زیر را در نظر می‌گیریم:
مورد 1. فرض کنید . چون آن‌گاه بنابراین داریم

مطلب مرتبط :   پایان نامه ارشد رایگان درباره تولید انبوه و عرضه کننده

جائیکه ، به آسانی می‌توان نشان داد که این معادله جواب ندارد. پس این مورد غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید ، چون آن‌گاه برابر است با 3، 9 یا 27. فرض کنید آن‌گاه بنابراین . اگر آن‌گاه چون یک تناقض است. اگر چون و آن‌گاه . بنابراین داریم

جائیکه ، واضح است که که از آنجا . با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن شبیه آنچه که ضمیمه رساله می باشد به سادگی می توان دید که معادله حاصل جواب ندارد. بطور مشابه اگر می‌توان نشان داد که معادله حاصل جواب ندارد. حال فرض کنید . با توجه به اینکه از لم (2-2-1) داریم ، در نتیجه برابر 84 یا 120 می‌باشد که با توجه به قضیه سیلو یک تناقض بدست می‌آوریم. اگر با توجه به اینکه آن‌گاه یا . اگر آن‌گاه دوری است در این صورت برابر10 یا 28 می‌باشد که به آسانی می‌توان یک تناقض بدست آورد و اگر با توجه به قضیه (1-2-3) داریم که یک تناقض است. در نتیجه غیرممکن است. با توجه به توضحیات فوق .
در ادامه نشان می‌دهیم که گروه G عضوی از مرتبه 21 و 14 ندارد. فرض کنید آن‌گاه جائیکه k تعداد زیرگرههای دوری در است. چون آن‌گاه . بنابراین که به آسانی می‌توان از (*) تناقض بدست آورد. به طریق مشابه می‌توان نشان داد که . حالا چون آن‌گاه که نتیجه می‌دهد .
چون آن‌گاه که از آنجا . با توجه به اینکه نتیجه می‌شود . اکنون برای اثبات اینکه G با ایزومورف است. ابتدا نشان می‌دهیم G یک گروه غیرحلپذیر است. فرض کنید G حلپذیر باشد، ما می‌دانیم از قضیه (1-2-5) نتیجه می‌شود که یک تناقض است. بنابراین G یک گروه غیرحلپذیر است.