مسئله: فرض کنید جائیکه تعداد عناصر از مرتبه n است. اگر و G یک گروه حلپذیر متناهی باشد آن‌گاه آیا می‌توان نتیجه گرفت H حلپذیر است؟
تاکنون کسی به طور کامل نتوانست این مسئله را حل کند یا یک مثال نقص ارائه کند، در سال 1986، شی روی گروه ساده متناوب کار کرده و نشان داد که گروه متناهی G با ایزومورف است اگر و فقط اگر [31]. بعد از آن گروههای ساده زیادی پیدا شد که فقط با استفاده از مجموعه مرتبه عناصر تشخیص‌پذیر شده‌اند.
در سال 2009، شن و همکارانش در [30] ثابت کردند که گروههای ، ، به طور منحصر به فردی بوسیله مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخیص‌پذیرند. این اولین تشخیص‌پذیری بود که از این طریق انجام شد. در همان سال خسروی و همکارانش در [19] ثابت کردند که گروههای برای به طور منحصر بفردی بوسیله مجموعه تعداد عناصر هم‌ مرتبه تشخیص‌پذیرند. در این فصل از رساله ما نشان داده‌ایم که گروههای متناوب ساده ، گروههای متقارن برای گروههای خطی برای و گروههای ساده ماتیو با استفاده از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه تشخیص‌پذیرند.
2-2 تشخیص‌پذیری گروههای متناوب ساده و
قبل از اینکه تشخیص‌پذیری ، با استفاده از nse را ثابت کنیم ابتدا دو لم بسیار مهم را که در اثبات قضیه‌های این فصل از آنها کمک می‌گیریم را بیان می‌کنیم:
لم 2-2-1 فرض کنید G یک گروه متناهی و m یک عدد صحیح مثبت باشد به طوری که . اگر آن‌گاه .
برهان. به [9] رجوع شود.
لم 2-2-2. فرض کنید G یک گروه با بیش از دو عضو باشد همچنین فرض کنید و تعداد عناصر از مرتبه k در G باشد. اگر آن‌گاه G یک گروه متناهی است و .
برهان. به [30] رجوع شود.
تذکر: از لم (2-2-2) نتیجه می‌شود اگر G یک گروه و یک مجموعه متناهی باشد آن‌گاه G گروهی متناهی است. در تمامی قضیه های این فصل چون یک مجموعه متناهی می باشد نتیجه می شود G گروهی متناهی است. همچنین اگر می‌دانیم که جائیکه k تعداد زیر گروههای دوری از مرتبه n و تابع حسابی اویلر است. واضح است که اگر آن‌گاه زوج است.
حالا از لم (2-2-1) و تذکرداریم:
(*)
از این تذکر و (*) در اثبات قضیه‌های این فصل استفاده می‌کنیم.
قضیه 2-2-3. فرض کنید G یک گروه آن‌گاه .
برهان. برای اثبات حکم ابتدا نشان می‌دهیم که . چون از (*) نتیجه می‌شود که و . فرض کنید از (*)داریم و در نتیجه . فرض کنید بار دیگر از (*) داریم ، از طرف دیگر از (*) می‌توان نتیجه گرفت که اگر ‌ آن‌گاه برابر 210 یا 630 می باشد و بنابراین یا که در هر صورت یک تناقض است، پس . حالا روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 2 با تزویج عمل می‌کند و چون این عمل یک عمل نیمه منظم است بنا به قضیه (1-2-1) داریم که یک تناقض است. بنابراین ، به طریق مشابه می‌توان نشان داد که ، در نتیجه . اگر آن‌گاه از (*) داریم ، و . اکنون فرض کنید آن گاه با استفاده از (*) داریم در نتیجه از nse(G) نتیجه می شود از طرف دیگر از (*) داریم که یک تنا قض است. همچنین به آسانی از (*) می‌توان نتیجه گرفت که گروه G هیچ عضوی از مرتبه 81، 64، 96، 125و 343 نمی‌باشد. اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . فرض کنید چون نتیجه می شود که برابر 5 یا 25 است. اگر آن‌گاه با در نظر گرفتن در لم (2-2-1) داریم . بنابراین یعنی سیلو 5- زیرگروههای G دوری‌اند در نتیجه تعداد سیلو 5- زیرگروههای G برابر با است. چون در این صورت ، که نتیجه می‌دهد . اگر از لم (2-2-1) داریم با توجه به اینکه ‌ آن‌گاه در نتیجه . بنابراین سیلو 5- زیرگروههای G دور‌ی اند و از آنجا . با توجه به اینکه هر عضو از مرتبه 5 در سیلو 5- زیرگروه G قرار می‌گیرد، نتیجه می‌شود که که یک تناقض است پس . حال فرض کنید چون پس برابر 7 یا 49 است. اگر آن‌گاه در نتیجه و از آنجا . بنابراین و حال اگر با توجه به اینکه و نتیجه می شود . بنابراین برابر 5 یا 12 است که با توجه به قضیه سیلو یک تناقض بدست می آید. از بحث بالا نتیجه می‌شود که اگر آن‌گاه و .
اگر آن‌گاه و اگر آن‌گاه . اکنون نشان می‌دهیم که نمی‌تواند یا باشد در نتیجه باید باشد. موارد زیر را در نظر می‌گیریم.
مورد 1. فرض کنید آن‌گاه با توجه به اینکه نتیجه می‌شود . با توجه به فرض قضیه دارای هفت عضو است که این غیرممکن است.
مورد 2. فرض کنید . چون آن‌گاه برابر 3, 9 یا 27 است. اگر آن‌گاه در نتیجه .
اگر آن‌گاه چون و یک تناقض بدست می‌آوریم. حال فرض کنید چون نتیجه می‌شود پس بنابراین داریم:

مطلب مرتبط :   بورس اوراق بهادار

جائیکه m و n و و و و و اعداد صحیح نامنفی و واضح است که . اگر می‌توان نتیجه گرفت . با استفاده از یک کد کامپیوتری در نرم افزار فرترن که ضمیمه رساله می باشد به آسانی می‌توان بررسی کرد که معادله بالا دارای هیچ جوابی نیست.
اگر نتیجه می‌شود ، در این حالت نیز به آسانی بررسی می‌شود که معادله فوق دارای هیچ جوابی نیست، پس . حال اگر داریم چون آن‌گاه . بنابراین با توجه به اینکه یک تناقض بدست می‌آید. همچنین اگر با توجه به اینکه داریم . اگر آن‌گاه از یک تناقض بدست می‌آید و اگر برابر 81 یا 243 باشد از قضیه (1-2-3) داریم که یک تناقض است.
در نتیجه با توجه به توضیحات قبل . اکنون ثابت می‌کنیم که . چون گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 5 با تزویج عمل می‌کند که این عمل یک عمل نیمه منظم است حالا از قضیه (1-2-1) داریم ، در نتیجه . به طریق مشابه نتیجه می‌شود که . اکنون نشان می دهیم که . فرض کنید می‌دانیم که اگرP و Q سیلو 7- زیرگروههای G باشند آن‌گاه P و Q با هم مزدوجند در نتیجه و نیز در G مزدوجند بنابراین جائیکه k تعداد زیرگروههای دوری از مرتبه 3 در است. چون داریم که یک تناقض است پس . به طریق مشابه می‌توان نشان داد که . چون گروه روی مجموعه همه عناصر از مرتبه 7 به طور نیمه منظم عمل می‌کند بنابراین پس . همچنین چون آن‌گاه در نتیجه . با توجه به اینکه نتیجه می‌شود . در [27] ثابت شده که گروههای ساده با nse و مرتبه تشخیص پذیر هستند چون یک گروه ساده است بنابراین .
قضیه 2-2-4 فرض کنید G یک گروه و